Comment calculer les puissances $n$-èmes d'une matrice carrée ?

En calculant directement pour une matrice diagonale ou triangulaire

Pour une matrice diagonale, les puissances s'obtiennent coefficient par coefficient ; pour certaines matrices triangulaires simples, on peut calculer $A^2$, $A^3$ et conjecturer.

En conjecturant la forme de $A^n$ puis en la démontrant par récurrence

On calcule $A^2$, $A^3$ pour deviner une formule générale, puis on valide la conjecture par récurrence sur $n$.

En exploitant un polynôme annulateur pour exprimer $A^n$ comme combinaison linéaire des puissances inférieures

Une relation $A^k=\alpha_{k-1}A^{k-1}+\dots+\alpha_0 I_p$ permet de ramener toute puissance à une combinaison des puissances strictement inférieures à $k$ et de conclure par récurrence.