En calculant $(AB)_{ij}$ comme produit scalaire de la ligne $i$ de $A$ par la colonne $j$ de $B$

L'objectif

Calculer le produit $AB$ de deux matrices de tailles compatibles en appliquant la formule coefficient par coefficient.

Le principe

Si $A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$ et $B\in\mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{R})$ , alors $AB\in\mathcal{M}_{n,q}(\mathbb{R})$ et $(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{p}a_{ik}b_{kj}$ .

La méthode

1
Je vérifie la compatibilité des tailles : si $A$ est de taille $n\times p$ et $B$ de taille $p'\times q$ , je vérifie que $p=p'$ , et la matrice produit sera de taille $n\times q$ .
2
Je calcule chaque coefficient $(AB)_{ij}$ en multipliant terme à terme la ligne $i$ de $A$ par la colonne $j$ de $B$ , puis en sommant les $p$ produits obtenus.
3
Je rassemble tous les coefficients dans la matrice $AB$ et je vérifie sa taille annoncée à l'étape 1.

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Application guidée 1

Calculer $AB$ avec $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 4 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ .

Application guidée 2

Calculer $A^2$ pour $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ .

Application autonome 1

Vérifier que le produit matriciel n'est pas commutatif en calculant $AB$ et $BA$ pour $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ .

Application autonome 2

Calculer $AB$ pour $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ .

Application autonome 3

Calculer $AB$ et $BA$ pour $A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}$ .

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En calculant (AB)ij(AB)_{ij}(AB)ij​ comme produit scalaire de la ligne iii de AAA par la colonne jjj de BBB

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En calculant $(AB)_{ij}$ comme produit scalaire de la ligne $i$ de $A$ par la colonne $j$ de $B$