En effectuant une suite d'opérations élémentaires $L_i\leftrightarrow L_j$ et $L_i\leftarrow aL_i+bL_j$ pour triangulariser, puis en remontant

Résoudre un système linéaire en le transformant, par opérations élémentaires sur les lignes, en un système triangulaire équivalent.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Résoudre dans $\mathbb{R}^3$ le système $\begin{cases} x+y+z=6 \\ 2x-y+z=3 \\ x+2y-z=2 \end{cases}$ .

L'objectif

Résoudre un système linéaire en le transformant, par opérations élémentaires sur les lignes, en un système triangulaire équivalent.

Le principe

Les opérations élémentaires $L_i\leftrightarrow L_j$ et $L_i\leftarrow aL_i+bL_j$ (avec $a\neq 0$ et $i\neq j$ ) transforment un système en un système équivalent (même ensemble de solutions).

La méthode

1
J'écris le système sous forme standard et je choisis un pivot non nul dans la première colonne, quitte à permuter deux lignes par $L_i\leftrightarrow L_j$ .
2
J'élimine la première inconnue dans les lignes suivantes par des opérations $L_i\leftarrow aL_i+bL_j$ avec $a\neq 0$ , puis j'itère sur le sous-système restant jusqu'à obtenir un système échelonné.
3
Je résous le système triangulaire par remontée en exprimant chaque inconnue à partir de celles déjà calculées, et je conclus sur l'ensemble des solutions.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Résoudre dans $\mathbb{R}^3$ le système $\begin{cases} x+y+z=6 \\ 2x-y+z=3 \\ x+2y-z=2 \end{cases}$ .

Étape 1 —

J'écris le système sous forme standard et je choisis un pivot non nul dans la première colonne, quitte à permuter deux lignes par

L_i\leftrightarrow L_j

Je prends $L_1$ comme ligne pivot avec le coefficient $1$ de $x$ et je laisse $L_1$ inchangée.

Étape 2 —

J'élimine la première inconnue dans les lignes suivantes par des opérations

L_i\leftarrow aL_i+bL_j

avec

a\neq 0

, puis j'itère sur le sous-système restant jusqu'à obtenir un système échelonné.

$L_2\leftarrow L_2-2L_1$ et $L_3\leftarrow L_3-L_1$ donnent $\begin{cases} x+y+z=6 \\ -3y-z=-9 \\ y-2z=-4 \end{cases}$ , puis $L_3\leftarrow 3L_3+L_2$ donne $-7z=-21$ .

Étape 3 —

Je résous le système triangulaire par remontée en exprimant chaque inconnue à partir de celles déjà calculées, et je conclus sur l'ensemble des solutions.

Par remontée : $z=3$ , puis $-3y-3=-9$ donc $y=2$ , puis $x+2+3=6$ donc $x=1$ .

Solution unique $(x,y,z)=(1,2,3)$ .

Application guidée

Résoudre $\begin{cases} x+2y-z=1 \\ 2x+4y-2z=2 \\ x+y+z=3 \end{cases}$ .

Application autonome 1

Résoudre $\begin{cases} x+y-z=1 \\ 2x-y+z=2 \\ 3x+3y-3z=5 \end{cases}$ .

Application autonome 2

Résoudre $\begin{cases} 2y+z=3 \\ x+y+z=2 \\ 3x-y+2z=1 \end{cases}$ .

Application autonome 3

Résoudre dans $\mathbb{R}^3$ le système $\begin{cases} x+y-z=4 \\ x-y+2z=1 \\ 2x+y-z=5 \end{cases}$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En effectuant une suite d'opérations élémentaires Li↔LjL_i\leftrightarrow L_jLi​↔Lj​ et Li←aLi+bLjL_i\leftarrow aL_i+bL_jLi​←aLi​+bLj​ pour triangulariser, puis en remontant

Pour comprendre, fais des exercices !

En effectuant une suite d'opérations élémentaires $L_i\leftrightarrow L_j$ et $L_i\leftarrow aL_i+bL_j$ pour triangulariser, puis en remontant