Comment montrer qu'une matrice carrée est inversible et calculer son inverse ? | MetMat

Comment montrer qu'une matrice carrée est inversible et calculer son inverse ?

En résolvant le système $AX=Y$ pour exprimer $X$ en fonction de $Y$

L'objectif

Déterminer si $A$ est inversible et calculer $A^{-1}$ en résolvant le système $AX=Y$ en fonction du second membre générique $Y$ .

Le principe

Une matrice carrée $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est inversible si et seulement si, pour tout $Y\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ , le système $AX=Y$ admet une unique solution $X$ ; dans ce cas $X=A^{-1}Y$ et on lit $A^{-1}$ directement sur l'expression des $x_i$ en fonction des $y_j$ .

La méthode

1
Je vérifie que $A$ est carrée puis j'écris le système $AX=Y$ avec $Y$ générique, en posant $X=(x_i)$ et $Y=(y_j)$ .
2
J'applique le pivot de Gauss pour triangulariser ; si aucun pivot ne s'annule, $A$ est inversible et je résous par remontée pour exprimer chaque $x_i$ comme combinaison linéaire des $y_j$ .
Comment résoudre un système linéaire par la méthode du pivot de Gauss ?Voir
3
Je lis $A^{-1}$ comme la matrice dont la ligne $i$ donne les coefficients des $y_j$ dans $x_i$ , puis je contrôle que $A\cdot A^{-1}=I_n$ .

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Application guidée 1

Montrer que $A=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ est inversible et calculer $A^{-1}$ .

Application guidée 2

Calculer l'inverse de $A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ .

Application autonome 1

Étudier l'inversibilité de $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$ .

Application autonome 2

Étudier l'inversibilité et calculer $A^{-1}$ pour $A=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}$ .

Application autonome 3

Calculer $A^{-1}$ pour $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ par résolution du système $AX=Y$ .

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En résolvant le système AX=YAX=YAX=Y pour exprimer XXX en fonction de YYY

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En résolvant le système $AX=Y$ pour exprimer $X$ en fonction de $Y$