Comment montrer qu'une matrice carrée est inversible et calculer son inverse ? | MetMat

Comment montrer qu'une matrice carrée est inversible et calculer son inverse ?

En utilisant un polynôme annulateur pour factoriser $I_n$

Prouver l'inversibilité et calculer l'inverse d'une matrice carrée à partir d'une relation polynomiale qu'elle satisfait.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $A\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ vérifiant $A^2-A-2I_2=0$ . Montrer que $A$ est inversible et exprimer $A^{-1}$ .

L'objectif

Prouver l'inversibilité et calculer l'inverse d'une matrice carrée à partir d'une relation polynomiale qu'elle satisfait.

Le principe

Si $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est carrée et vérifie une relation de la forme $a_k A^k+\dots+a_1 A+a_0 I_n=0$ avec $a_0\neq 0$ , alors on peut factoriser $I_n=A\cdot\frac{-1}{a_0}(a_k A^{k-1}+\dots+a_1 I_n)$ , ce qui donne $A^{-1}=\frac{-1}{a_0}(a_k A^{k-1}+\dots+a_1 I_n)$ .

La méthode

1
Je vérifie que $A$ est carrée puis j'établis (ou j'utilise) une relation polynomiale $a_k A^k+\dots+a_1 A+a_0 I_n=0$ avec $a_0\neq 0$ .
2
J'isole $I_n$ : $I_n=-\frac{1}{a_0}(a_k A^k+\dots+a_1 A)=A\cdot\left(-\frac{1}{a_0}(a_k A^{k-1}+\dots+a_1 I_n)\right)$ .
3
Je conclus : $A$ est inversible et $A^{-1}=-\frac{1}{a_0}(a_k A^{k-1}+\dots+a_1 I_n)$ , puis je vérifie par un calcul direct $A\cdot A^{-1}=I_n$ si utile.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $A\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ vérifiant $A^2-A-2I_2=0$ . Montrer que $A$ est inversible et exprimer $A^{-1}$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

A

est carrée puis j'établis (ou j'utilise) une relation polynomiale

a_k A^k+\dots+a_1 A+a_0 I_n=0

avec

a_0\neq 0

$A$ est carrée d'ordre $2$ et vérifie $A^2-A-2I_2=0$ , soit $a_0=-2\neq 0$ .

Étape 2 —

J'isole

I_n

I_n=-\frac{1}{a_0}(a_k A^k+\dots+a_1 A)=A\cdot\left(-\frac{1}{a_0}(a_k A^{k-1}+\dots+a_1 I_n)\right)

J'isole $I_2$ : $2I_2=A^2-A=A(A-I_2)$ , donc $I_2=A\cdot\tfrac{1}{2}(A-I_2)$ .

Étape 3 —

Je conclus :

A

est inversible et

A^{-1}=-\frac{1}{a_0}(a_k A^{k-1}+\dots+a_1 I_n)

, puis je vérifie par un calcul direct

A\cdot A^{-1}=I_n

si utile.

Donc $A$ est inversible et $A^{-1}=\tfrac{1}{2}(A-I_2)$ .

$A^{-1}=\dfrac{1}{2}(A-I_2)$ .

Application guidée

Soit $A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ . Sachant que $A^2=4A-3I_2$ , calculer $A^{-1}$ .

Application autonome 1

Soit $A\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ vérifiant $A^3-2A^2+A-I_3=0$ . Montrer que $A$ est inversible et exprimer $A^{-1}$ .

Application autonome 2

Soit $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vérifiant $A^2+3A-4I_n=0$ . Montrer que $A$ est inversible et exprimer $A^{-1}$ en fonction de $A$ et $I_n$ .

Application autonome 3

Soit $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $A^3=2I_n$ . Montrer que $A$ est inversible et donner $A^{-1}$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En utilisant un polynôme annulateur pour factoriser InI_nIn​

Pour comprendre, fais des exercices !

En utilisant un polynôme annulateur pour factoriser $I_n$