En identifiant le rang après pivot pour classer l'ensemble des solutions (vide, singleton, paramétrée)

Déterminer, éventuellement selon un paramètre, la nature (vide, singleton, paramétrée) de l'ensemble des solutions d'un système linéaire.

L'objectif

Déterminer, éventuellement selon un paramètre, la nature (vide, singleton, paramétrée) de l'ensemble des solutions d'un système linéaire.

Le principe

Après échelonnement, un système linéaire à $n$ inconnues avec $r$ pivots admet une unique solution si $r=n$ et aucune équation impossible, une infinité paramétrée par $n-r$ inconnues libres si $r<n$ sans équation impossible, et aucune solution s'il apparaît une équation $0=c$ avec $c\neq 0$ .

La méthode

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J'applique la méthode du pivot de Gauss pour échelonner le système, en discutant selon le paramètre lorsqu'un pivot dépend de celui-ci (on ne divise que par des quantités non nulles).
Comment résoudre un système linéaire par la méthode du pivot de Gauss ?Voir
2
J'examine la forme échelonnée : je repère les éventuelles équations $0=c$ et je compte le nombre $r$ de pivots par rapport au nombre $n$ d'inconnues.
3
Je conclus : une équation $0=c$ avec $c\neq 0$ donne l'ensemble vide, $r=n$ donne un singleton et $r<n$ donne une infinité paramétrée par $n-r$ inconnues libres.

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Exercice d'exemple

Discuter selon $m\in\mathbb{R}$ le système $\begin{cases} x+y=1 \\ x+my=2 \end{cases}$ .

Étape 1 —

J'applique la méthode du pivot de Gauss pour échelonner le système, en discutant selon le paramètre lorsqu'un pivot dépend de celui-ci (on ne divise que par des quantités non nulles).

$L_2\leftarrow L_2-L_1$ donne $(m-1)y=1$ : le pivot $m-1$ est non nul si et seulement si $m\neq 1$ .

Étape 2 —

J'examine la forme échelonnée : je repère les éventuelles équations

0=c

et je compte le nombre

r

de pivots par rapport au nombre

n

d'inconnues.

Si $m\neq 1$ : deux pivots, donc $r=2=n$ en l'absence d'équation impossible. Si $m=1$ : l'équation devient $0=1$ , impossible.

Étape 3 —

Je conclus : une équation

0=c

avec

c\neq 0

donne l'ensemble vide,

r=n

donne un singleton et

r<n

donne une infinité paramétrée par

n-r

inconnues libres.

Si $m\neq 1$ : singleton avec $y=\frac{1}{m-1}$ et $x=1-y=\frac{m-2}{m-1}$ . Si $m=1$ : ensemble vide.

Singleton $\left\{\left(\frac{m-2}{m-1},\frac{1}{m-1}\right)\right\}$ si $m\neq 1$ , ensemble vide si $m=1$ .

Application guidée

Discuter selon $m\in\mathbb{R}$ le système $\begin{cases} x+y+z=1 \\ 2x+2y+2z=m \\ x-y+z=0 \end{cases}$ .

Application autonome 1

Décrire l'ensemble des solutions du système homogène $\begin{cases} x+y+z=0 \\ x+2y+3z=0 \\ 2x+3y+4z=0 \end{cases}$ .

Application autonome 2

Discuter selon $m\in\mathbb{R}$ le système $\begin{cases} x+2y=1 \\ 3x+my=4 \end{cases}$ .

Application autonome 3

Discuter selon $a\in\mathbb{R}$ le système $\begin{cases} x+y+z=1 \\ 2x+ay+2z=2 \\ x+y+az=a \end{cases}$ .

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