Comment majorer ou minorer une intégrale ?

En intégrant une inégalité $f(t)\leq g(t)$ sur le segment $[a,b]$ pour obtenir $\int_a^b f\leq\int_a^b g$

L'objectif

Obtenir une majoration (ou minoration) d'une intégrale $\int_a^b f(t)\mathrm{d}t$ en intégrant une inégalité ponctuelle.

Le principe

Si $f$ et $g$ sont continues sur $[a,b]$ avec $a\leq b$ et $f(t)\leq g(t)$ pour tout $t\in[a,b]$ , alors $\int_a^b f(t)\mathrm{d}t\leq\int_a^b g(t)\mathrm{d}t$ (croissance de l'intégrale).

La méthode

1
Je choisis une fonction $g$ plus simple à intégrer que $f$ et j'établis l'inégalité $f(t)\leq g(t)$ (ou $f(t)\geq g(t)$ ) sur $[a,b]$ , à partir d'une étude de fonction ou d'inégalités classiques (ex. $e^{-x^2}\leq 1$ , $\frac{1}{1+x^n}\geq \frac{1}{2}$ sur $[0,1]$ ).
2
Je vérifie les hypothèses : $a\leq b$ , $f$ et $g$ continues sur $[a,b]$ , puis j'intègre l'inégalité sur $[a,b]$ par croissance de l'intégrale.
3
Je calcule $\int_a^b g(t)\mathrm{d}t$ et je conclus sur la majoration (ou minoration) de $\int_a^b f(t)\mathrm{d}t$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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En intégrant une inégalité f(t)≤g(t)f(t)\leq g(t)f(t)≤g(t) sur le segment [a,b][a,b][a,b] pour obtenir ∫abf≤∫abg\int_a^b f\leq\int_a^b g∫ab​f≤∫ab​g

Exemple corrigé

En intégrant une inégalité $f(t)\leq g(t)$ sur le segment $[a,b]$ pour obtenir $\int_a^b f\leq\int_a^b g$