Comment étudier une suite ou une fonction définie par une intégrale ? | MetMat

Comment étudier une suite ou une fonction définie par une intégrale ?

En dérivant $F(x)=\int_a^x f(t)\mathrm{d}t$ ou en comparant $I_n=\int_a^b f_n$ par monotonie et majoration pour étudier sa convergence

Étudier la régularité et le sens de variation d'une fonction définie par une intégrale $F(x)=\int_a^x f(t)\mathrm{d}t$ ou analyser la monotonie et la limite d'une suite $I_n=\int_a^b f_n(t)\mathrm{d}t$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Étudier la suite $I_n=\int_0^1 x^n e^{-x}\mathrm{d}x$ : monotonie et limite.

L'objectif

Le principe

Si $f$ est continue sur un intervalle $I$ contenant $a$ , alors $F\colon x\mapsto\int_a^x f(t)\mathrm{d}t$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $I$ avec $F'(x)=f(x)$ ; pour une suite $(I_n)=\left(\int_a^b f_n\right)$ , on étudie $I_{n+1}-I_n=\int_a^b (f_{n+1}-f_n)$ pour la monotonie, et on majore $|I_n|$ par une quantité tendant vers $0$ pour la convergence.

La méthode

1
Je distingue les cas : si j'étudie une fonction $F(x)=\int_a^x f(t)\mathrm{d}t$ , je vérifie la continuité de $f$ puis j'applique $F'=f$ ; si j'étudie une suite $I_n=\int_a^b f_n(t)\mathrm{d}t$ , je forme $I_{n+1}-I_n=\int_a^b (f_{n+1}(t)-f_n(t))\mathrm{d}t$ .
Comment calculer la dérivée d'une fonction ?Voir
2
Pour $F$ : j'étudie le signe de $F'=f$ pour en déduire les variations. Pour $I_n$ : j'étudie le signe de $f_{n+1}-f_n$ sur $[a,b]$ pour obtenir la monotonie, puis je cherche une majoration $0\leq I_n\leq M_n$ avec $M_n\to 0$ .
Comment étudier les variations d'une fonction à l'aide du signe de sa dérivée ?Voir
3
Je conclus : variations de $F$ (ou expression explicite via primitive), monotonie de $(I_n)$ , et éventuellement convergence par théorème d'encadrement ou par monotonie + minoration.
Comment montrer qu'une suite converge et déterminer sa limite ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Étudier la suite $I_n=\int_0^1 x^n e^{-x}\mathrm{d}x$ : monotonie et limite.

Étape 1 —

Je distingue les cas : si j'étudie une fonction

F(x)=\int_a^x f(t)\mathrm{d}t

, je vérifie la continuité de

f

puis j'applique

F'=f

; si j'étudie une suite

I_n=\int_a^b f_n(t)\mathrm{d}t

, je forme

I_{n+1}-I_n=\int_a^b (f_{n+1}(t)-f_n(t))\mathrm{d}t

Pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $f_n(x)=x^n e^{-x}$ est continue sur $[0,1]$ donc $I_n$ est bien définie. Je forme $I_{n+1}-I_n=\int_0^1 (x^{n+1}-x^n)e^{-x}\mathrm{d}x=\int_0^1 x^n(x-1)e^{-x}\mathrm{d}x$ .

Étape 2 —

Pour

F

: j'étudie le signe de

F'=f

pour en déduire les variations. Pour

I_n

: j'étudie le signe de

f_{n+1}-f_n

sur

[a,b]

pour obtenir la monotonie, puis je cherche une majoration

0\leq I_n\leq M_n

avec

M_n\to 0

Pour tout $x\in[0,1]$ , $x^n\geq 0$ , $x-1\leq 0$ et $e^{-x}>0$ , donc $x^n(x-1)e^{-x}\leq 0$ ; par croissance de l'intégrale, $I_{n+1}-I_n\leq 0$ . Ainsi $(I_n)$ est décroissante. Pour la limite : $0\leq x^n e^{-x}\leq x^n$ sur $[0,1]$ donc $0\leq I_n\leq\int_0^1 x^n\mathrm{d}x=\frac{1}{n+1}$ .

Étape 3 —

Je conclus : variations de

F

(ou expression explicite via primitive), monotonie de

(I_n)

, et éventuellement convergence par théorème d'encadrement ou par monotonie + minoration.

Comme $\frac{1}{n+1}\xrightarrow[n\to+\infty]{}0$ , par théorème d'encadrement $I_n\to 0$ . La suite $(I_n)$ est décroissante et converge vers $0$ .

$(I_n)$ est décroissante et $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}I_n=0$ .

Application guidée

Étudier les variations de $F(x)=\int_0^x e^{-t^2}\mathrm{d}t$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 1

Étudier la suite $J_n=\int_0^1 \frac{1}{1+t^n}\mathrm{d}t$ : monotonie et limite.

Application autonome 2

Étudier la monotonie et la limite de la suite $I_n=\displaystyle\int_0^{1}\dfrac{t^n}{1+t}\,\mathrm{d}t$ .

Application autonome 3

Soit $F(x)=\displaystyle\int_1^x \dfrac{\ln t}{t}\,\mathrm{d}t$ pour $x>0$ . Étudier les variations de $F$ sur $]0,+\infty[$ et donner une expression explicite.

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En dérivant F(x)=∫axf(t)dtF(x)=\int_a^x f(t)\mathrm{d}tF(x)=∫ax​f(t)dt ou en comparant In=∫abfnI_n=\int_a^b f_nIn​=∫ab​fn​ par monotonie et majoration pour étudier sa convergence

Pour comprendre, fais des exercices !

En dérivant $F(x)=\int_a^x f(t)\mathrm{d}t$ ou en comparant $I_n=\int_a^b f_n$ par monotonie et majoration pour étudier sa convergence