Comment trouver les racines d'un trinôme du second degré et le factoriser ?

En utilisant les relations coefficients/racines ou en repérant une racine évidente

L'objectif

Trouver rapidement les racines d'un trinôme du second degré sans passer par le discriminant, en utilisant une racine évidente et les relations somme/produit.

Le principe

Pour un trinôme unitaire $X^2-SX+P$ , la somme des racines vaut $S$ et leur produit vaut $P$ ; plus généralement pour $ax^2+bx+c$ (avec $a\neq 0$ ) : $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$ et $x_1 x_2=\dfrac{c}{a}$ . Si une racine est repérée par inspection (valeur simple annulant le trinôme), la seconde se déduit immédiatement.

La méthode

1
Je teste des valeurs simples ( $0$ , $1$ , $-1$ , $2$ …) pour trouver une racine évidente $x_1$ telle que $ax_1^2+bx_1+c=0$ .
2
J'applique la relation somme $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$ ou la relation produit $x_1 x_2=\dfrac{c}{a}$ pour obtenir $x_2$ .
3
J'écris la factorisation $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ et je vérifie en développant.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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