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Comment étudier la parité et les symétries d'une fonction ?

En testant f(−x)f(-x) pour identifier parité (f(−x)=f(x)f(-x)=f(x)) ou imparité (f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x)) et en déduire la symétrie du graphe

L'objectif

Établir la parité ou l'imparité d'une fonction et interpréter la symétrie correspondante du graphe de ff.

Le principe

Soit ff définie sur un domaine Df\mathcal{D}_f symétrique par rapport à 00 (∀x∈Df,−x∈Df\forall x\in\mathcal{D}_f, -x\in\mathcal{D}_f) : ff est paire si ∀x∈Df,f(−x)=f(x)\forall x\in\mathcal{D}_f, f(-x)=f(x), et son graphe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ; ff est impaire si ∀x∈Df,f(−x)=−f(x)\forall x\in\mathcal{D}_f, f(-x)=-f(x), et son graphe est symétrique par rapport à l'origine.

La méthode
  1. 1
    Je vérifie que Df\mathcal{D}_f est symétrique par rapport à 00 : pour tout x∈Dfx\in\mathcal{D}_f, −x-x appartient aussi à Df\mathcal{D}_f.
    Voir
  2. 2
    Je calcule f(−x)f(-x) en remplaçant xx par −x-x dans l'expression de ff, puis je simplifie.
  3. 3
    Je compare : si f(−x)=f(x)f(-x)=f(x), ff est paire (symétrie par rapport à l'axe des ordonnées) ; si f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x), ff est impaire (symétrie par rapport à l'origine) ; sinon, ff n'est ni paire ni impaire.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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