En encadrant $f(x)$ entre deux fonctions de même limite (théorème des gendarmes)

Calculer la limite d'une fonction $f$ en la coinçant entre deux fonctions $u$ et $v$ de même limite.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\sin x}{x}$ .

L'objectif

Calculer la limite d'une fonction $f$ en la coinçant entre deux fonctions $u$ et $v$ de même limite.

Le principe

Théorème des gendarmes : soient $u$ , $f$ , $v$ trois fonctions définies au voisinage de $a$ (fini ou infini) et $\ell\in\mathbb{R}$ ; si $\forall x$ du voisinage, $u(x)\leq f(x)\leq v(x)$ et $\lim_{x\to a} u(x)=\lim_{x\to a} v(x)=\ell$ , alors $\lim_{x\to a} f(x)=\ell$ . Version infinie : si $u\leq f$ avec $u\to +\infty$ , alors $f\to +\infty$ (et symétriquement pour $-\infty$ ).

La méthode

1
J'exhibe un encadrement de $f(x)$ par deux fonctions $u(x)\leq f(x)\leq v(x)$ , typiquement en majorant/minorant un terme oscillant (par exemple $-1\leq\sin x\leq 1$ ).
2
Je calcule les limites des deux bornes $u$ et $v$ en $a$ et je vérifie qu'elles coïncident ( $\lim u=\lim v=\ell$ ).
3
J'applique le théorème des gendarmes pour conclure que $\lim_{x\to a} f(x)=\ell$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\sin x}{x}$ .

Étape 1 —

J'exhibe un encadrement de

f(x)

par deux fonctions

u(x)\leq f(x)\leq v(x)

, typiquement en majorant/minorant un terme oscillant (par exemple

-1\leq\sin x\leq 1

Pour tout $x>0$ , $-1\leq\sin x\leq 1$ , donc en divisant par $x>0$ : $-\dfrac{1}{x}\leq\dfrac{\sin x}{x}\leq\dfrac{1}{x}$ .

Étape 2 —

Je calcule les limites des deux bornes

u

v

a

et je vérifie qu'elles coïncident (

\lim u=\lim v=\ell

Les deux bornes $-1/x$ et $1/x$ tendent vers $0$ quand $x\to+\infty$ .

Étape 3 —

J'applique le théorème des gendarmes pour conclure que

\lim_{x\to a} f(x)=\ell

Par le théorème des gendarmes, $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\sin x}{x}=0$ .

$\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\sin x}{x}=0$ .

Application guidée

Calculer $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\cos x+x}{x}$ .

Application autonome 1

Montrer que $\lim_{x\to+\infty}(x+\sin x)=+\infty$ .

Application autonome 2

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to 0} x^2\cos\!\left(\dfrac{1}{x}\right)$ .

Application autonome 3

Montrer que $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\lfloor x\rfloor}{x}=1$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

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Pour comprendre, fais des exercices !

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