En effectuant la division euclidienne de $P(X)$ par $(X-a)$

Factoriser un polynôme $P(X)$ sous la forme $(X-a)Q(X)$ lorsqu'une racine $a$ est connue.

L'objectif

Factoriser un polynôme $P(X)$ sous la forme $(X-a)Q(X)$ lorsqu'une racine $a$ est connue.

Le principe

Si $a$ est une racine de $P(X)$ (i.e. $P(a)=0$ ), alors $(X-a)$ divise $P(X)$ et il existe un unique polynôme $Q(X)$ , de degré $\deg P-1$ , tel que $P(X)=(X-a)Q(X)$ ; on obtient $Q$ par la division euclidienne de $P$ par $(X-a)$ .

La méthode

1
Je vérifie que $P(a)=0$ , ce qui garantit que $(X-a)$ divise $P(X)$ .
2
Je pose la division euclidienne de $P(X)$ par $(X-a)$ : à chaque étape, je divise le terme de plus haut degré du dividende par $X$ , puis je soustrais.
3
J'obtiens un quotient $Q(X)$ avec un reste nul, et j'écris $P(X)=(X-a)Q(X)$ , éventuellement en factorisant à nouveau $Q(X)$ .

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Exercice d'exemple

Factoriser $P(X)=X^3-6X^2+11X-6$ sachant que $a=1$ est racine.

Étape 1 —

Je vérifie que

P(a)=0

, ce qui garantit que

(X-a)

divise

P(X)

Je vérifie $P(1)=1-6+11-6=0$ , donc $(X-1)$ divise $P$ .

Étape 2 —

Je pose la division euclidienne de

P(X)

par

(X-a)

: à chaque étape, je divise le terme de plus haut degré du dividende par

X

, puis je soustrais.

Division euclidienne : $X^3-6X^2+11X-6=(X-1)(X^2-5X+6)$ (on pose la division : $X^3/X=X^2$ , reste $-5X^2+11X-6$ ; $-5X^2/X=-5X$ , reste $6X-6$ ; $6X/X=6$ , reste $0$ ).

Étape 3 —

J'obtiens un quotient

Q(X)

avec un reste nul, et j'écris

P(X)=(X-a)Q(X)

, éventuellement en factorisant à nouveau

Q(X)

On factorise encore $X^2-5X+6=(X-2)(X-3)$ , donc $P(X)=(X-1)(X-2)(X-3)$ .

$P(X)=(X-1)(X-2)(X-3)$ .

Application guidée

Factoriser $P(X)=X^3+X^2-2$ sachant que $a=1$ est racine.

Application autonome 1

Factoriser $P(X)=X^3-3X+2$ sachant que $a=1$ est racine.

Application autonome 2

Factoriser $P(X)=2X^3-5X^2-X+6$ sachant que $a=2$ est racine.

Application autonome 3

Factoriser $P(X)=X^4-1$ sachant que $a=1$ est racine.

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