Comment montrer qu'une fonction est continue en un point ou sur un intervalle ? | MetMat

Comment montrer qu'une fonction est continue en un point ou sur un intervalle ?

En composant, sommant ou multipliant des fonctions continues usuelles

Montrer la continuité d'une fonction sur un intervalle $I$ en la décomposant en opérations de fonctions usuelles continues.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $f(x)=e^{x^2}+\ln(1+x^2)$ est continue sur $\mathbb{R}$ .

L'objectif

Montrer la continuité d'une fonction sur un intervalle $I$ en la décomposant en opérations de fonctions usuelles continues.

Le principe

Les fonctions polynomiales, exponentielles, logarithmiques, trigonométriques et la racine carrée sont continues sur tout intervalle de leur domaine ; la somme, le produit, le quotient (si le dénominateur ne s'annule pas) et la composée de fonctions continues sont continus.

La méthode

1
Je décompose $f$ comme somme, produit, quotient ou composée de fonctions usuelles et je précise le domaine de définition.
Comment déterminer le domaine de définition d'une fonction ?Voir
2
Je rappelle que chacune des fonctions usuelles intervenant est continue sur son domaine, et je vérifie qu'il n'y a pas de division par zéro ni de valeur interdite sur $I$ .
3
Je conclus par composition/opérations que $f$ est continue sur $I$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer que $f(x)=e^{x^2}+\ln(1+x^2)$ est continue sur $\mathbb{R}$ .

Étape 1 —

Je décompose

f

comme somme, produit, quotient ou composée de fonctions usuelles et je précise le domaine de définition.

Je vois $f$ comme somme de $g(x)=e^{x^2}=\exp\circ(x\mapsto x^2)$ et de $h(x)=\ln(1+x^2)=\ln\circ(x\mapsto 1+x^2)$ sur $\mathbb{R}$ .

Étape 2 —

Je rappelle que chacune des fonctions usuelles intervenant est continue sur son domaine, et je vérifie qu'il n'y a pas de division par zéro ni de valeur interdite sur

I

$x\mapsto x^2$ et $x\mapsto 1+x^2$ sont polynomiales donc continues sur $\mathbb{R}$ ; $\exp$ est continue sur $\mathbb{R}$ ; $\ln$ est continue sur $]0,+\infty[$ et $1+x^2>0$ pour tout $x$ .

Étape 3 —

Je conclus par composition/opérations que

f

est continue sur

I

Par composition et somme, $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ .

$f$ est continue sur $\mathbb{R}$ .

Application guidée

Étudier la continuité de $f(x)=\dfrac{x^2+1}{x-2}$ .

Application autonome 1

Montrer que $f(x)=\sqrt{1+\cos x}$ est continue sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 2

Montrer que $f(x)=\dfrac{\ln(1+x^2)}{\cos x}$ est continue sur $\left]-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right[$ .

Application autonome 3

Déterminer le plus grand intervalle sur lequel $g(x)=\sqrt{\ln x}$ est continue.

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