En appliquant $\dim\mathrm{Ker}(f)+\mathrm{rg}(f)=n$ pour déduire l'une des deux dimensions à partir de l'autre

Déduire l'une des dimensions $\dim\mathrm{Ker}(f)$ ou $\mathrm{rg}(f)$ à partir de l'autre grâce au théorème du rang.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $f:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3$ linéaire telle que $\mathrm{Ker}(f)=\mathrm{Vect}((1,-1,1,-1))$ . Calculer $\mathrm{rg}(f)$ .

L'objectif

Déduire l'une des dimensions $\dim\mathrm{Ker}(f)$ ou $\mathrm{rg}(f)$ à partir de l'autre grâce au théorème du rang.

Le principe

Pour toute application linéaire $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ , on a $\dim\mathrm{Ker}(f)+\mathrm{rg}(f)=n$ , où $n$ est la dimension de l'espace de départ et $\mathrm{rg}(f)=\dim\mathrm{Im}(f)$ .

La méthode

1
J'identifie l'application linéaire $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ ainsi que la dimension $n$ de l'espace de départ, et je vérifie les hypothèses du théorème du rang (linéarité, espaces de dimension finie).
2
Je calcule la dimension la plus facilement accessible (par exemple $\dim\mathrm{Ker}(f)$ en résolvant $AX=0$ , ou $\mathrm{rg}(f)$ en échelonnant la matrice de $f$ ).
Comment déterminer le noyau d'une matrice ?Voir
3
J'applique la formule $\dim\mathrm{Ker}(f)+\mathrm{rg}(f)=n$ pour en déduire la dimension manquante, et je conclus.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $f:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3$ linéaire telle que $\mathrm{Ker}(f)=\mathrm{Vect}((1,-1,1,-1))$ . Calculer $\mathrm{rg}(f)$ .

Étape 1 —

J'identifie l'application linéaire

f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m

ainsi que la dimension

n

de l'espace de départ, et je vérifie les hypothèses du théorème du rang (linéarité, espaces de dimension finie).

$f$ est linéaire de $\mathbb{R}^4$ dans $\mathbb{R}^3$ , donc $n=4$ .

Étape 2 —

Je calcule la dimension la plus facilement accessible (par exemple

\dim\mathrm{Ker}(f)

en résolvant

AX=0

, ou

\mathrm{rg}(f)

en échelonnant la matrice de

f

$\mathrm{Ker}(f)$ est engendré par un seul vecteur non nul, donc $\dim\mathrm{Ker}(f)=1$ .

Étape 3 —

J'applique la formule

\dim\mathrm{Ker}(f)+\mathrm{rg}(f)=n

pour en déduire la dimension manquante, et je conclus.

Par le théorème du rang, $\mathrm{rg}(f)=n-\dim\mathrm{Ker}(f)=4-1=3$ .

$\mathrm{rg}(f)=3$ .

Application guidée

Soit $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ de matrice $A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6\\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}$ . Calculer $\dim\mathrm{Ker}(f)$ à partir de $\mathrm{rg}(f)$ .

Application autonome 1

Soit $f:\mathbb{R}^5\to\mathbb{R}^3$ surjective. Calculer $\dim\mathrm{Ker}(f)$ .

Application autonome 2

Soit $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^4$ injective. Calculer $\mathrm{rg}(f)$ .

Application autonome 3

Soit $f:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4$ linéaire de matrice $A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 3 & 5\end{pmatrix}$ . Déterminer $\dim\mathrm{Ker}(f)$ .

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En appliquant dim⁡Ker(f)+rg(f)=n\dim\mathrm{Ker}(f)+\mathrm{rg}(f)=ndimKer(f)+rg(f)=n pour déduire l'une des deux dimensions à partir de l'autre

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant $\dim\mathrm{Ker}(f)+\mathrm{rg}(f)=n$ pour déduire l'une des deux dimensions à partir de l'autre