En appliquant $\dim\mathrm{Ker}(f)+\mathrm{rg}(f)=n$ pour déduire l'une des deux dimensions à partir de l'autre

Soit $f:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3$ linéaire telle que $\mathrm{Ker}(f)=\mathrm{Vect}((1,-1,1,-1))$. Calculer $\mathrm{rg}(f)$.

Soit $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ de matrice $A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6\\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}$. Calculer $\dim\mathrm{Ker}(f)$ à partir de $\mathrm{rg}(f)$.

Soit $f:\mathbb{R}^5\to\mathbb{R}^3$ surjective. Calculer $\dim\mathrm{Ker}(f)$.

Soit $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^4$ injective. Calculer $\mathrm{rg}(f)$.

Soit $f:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4$ linéaire de matrice $A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 3 & 5\end{pmatrix}$. Déterminer $\dim\mathrm{Ker}(f)$.