Comment montrer qu'une partie $F$ de $\mathbb{R}^n$ est un sous-espace vectoriel ? | MetMat

Comment montrer qu'une partie $F$ de $\mathbb{R}^n$ est un sous-espace vectoriel ?

En écrivant $F=\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_p)$ ou $F=\mathrm{Ker}(A)$ (ensemble des solutions d'un système homogène)

Démontrer qu'une partie $F$ est un sous-espace vectoriel en l'écrivant comme le $\mathrm{Vect}$ de vecteurs ou comme le noyau d'une matrice.

L'objectif

Démontrer qu'une partie $F$ est un sous-espace vectoriel en l'écrivant comme le $\mathrm{Vect}$ de vecteurs ou comme le noyau d'une matrice.

Le principe

Pour tous vecteurs $u_1,\dots,u_p\in\mathbb{R}^n$ , $\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_p)$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^n$ ; pour toute matrice $A\in\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})$ , l'ensemble $\mathrm{Ker}(A)=\{X\in\mathbb{R}^n\mid AX=0\}$ des solutions du système homogène associé est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^n$ .

La méthode

1
Écrire un vecteur générique de $F$ soit comme combinaison linéaire de vecteurs fixes $u_1,\dots,u_p$ , soit comme solution d'un système linéaire homogène $AX=0$ .
Comment résoudre un système linéaire par la méthode du pivot de Gauss ?Voir
2
Si je parviens à une écriture $F=\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_p)$ , j'invoque le résultat de cours : tout $\mathrm{Vect}$ est un sous-espace vectoriel. Si j'obtiens $F=\mathrm{Ker}(A)$ , j'invoque le résultat de cours : le noyau d'une matrice est un sous-espace vectoriel.
Comment déterminer le noyau d'une matrice ?Voir
3
Je conclus en précisant la nature du sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^n$ obtenu.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer que $F=\{(a,b,a+b)\mid (a,b)\in\mathbb{R}^2\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ .

Étape 1 —

Écrire un vecteur générique de

F

soit comme combinaison linéaire de vecteurs fixes

u_1,\dots,u_p

, soit comme solution d'un système linéaire homogène

AX=0

Un vecteur générique de $F$ s'écrit $(a,b,a+b)=a(1,0,1)+b(0,1,1)$ avec $(a,b)\in\mathbb{R}^2$ .

Étape 2 —

Si je parviens à une écriture

F=\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_p)

, j'invoque le résultat de cours : tout

\mathrm{Vect}

est un sous-espace vectoriel. Si j'obtiens

F=\mathrm{Ker}(A)

, j'invoque le résultat de cours : le noyau d'une matrice est un sous-espace vectoriel.

Donc $F=\mathrm{Vect}((1,0,1),(0,1,1))$ , et tout $\mathrm{Vect}$ est un sous-espace vectoriel.

Étape 3 —

Je conclus en précisant la nature du sous-espace vectoriel de

\mathbb{R}^n

obtenu.

$F$ est donc un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ .

$F=\mathrm{Vect}((1,0,1),(0,1,1))$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ .

Application guidée

Montrer que $F=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid 2x-y+z=0\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ .

Application autonome 1

Montrer que $F=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x+y-z=0\text{ et }x-y=0\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ .

Application autonome 2

Montrer que $F=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4\mid x-y+z-t=0\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^4$ .

Application autonome 3

Montrer que $F=\mathrm{Vect}\bigl((1,0,-1), (2,1,1)\bigr)$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ et en donner un vecteur.

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En écrivant F=Vect(u1,…,up)F=\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_p)F=Vect(u1​,…,up​) ou F=Ker(A)F=\mathrm{Ker}(A)F=Ker(A) (ensemble des solutions d'un système homogène)

Pour comprendre, fais des exercices !

En écrivant $F=\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_p)$ ou $F=\mathrm{Ker}(A)$ (ensemble des solutions d'un système homogène)