Comment montrer qu'une partie $F$ de $\mathbb{R}^n$ est un sous-espace vectoriel ? | MetMat

Comment montrer qu'une partie $F$ de $\mathbb{R}^n$ est un sous-espace vectoriel ?

En vérifiant que $0\in F$ et la stabilité par combinaisons linéaires ( $\forall u,v\in F, \forall \lambda,\mu\in\mathbb{R}, \lambda u+\mu v\in F$ )

Démontrer qu'une partie $F\subset\mathbb{R}^n$ est un sous-espace vectoriel en appliquant la caractérisation par stabilité.

L'objectif

Démontrer qu'une partie $F\subset\mathbb{R}^n$ est un sous-espace vectoriel en appliquant la caractérisation par stabilité.

Le principe

Une partie $F$ de $\mathbb{R}^n$ est un sous-espace vectoriel si et seulement si $F$ est non vide (on vérifie $0\in F$ ) et $F$ est stable par combinaison linéaire : $\forall u,v\in F,\ \forall \lambda,\mu\in\mathbb{R},\ \lambda u+\mu v\in F$ .

La méthode

1
Je vérifie que le vecteur nul $0_{\mathbb{R}^n}$ appartient à $F$ en le substituant dans la (ou les) condition(s) définissant $F$ .
2
Je prends deux vecteurs quelconques $u,v\in F$ et deux scalaires $\lambda,\mu\in\mathbb{R}$ , je calcule $\lambda u+\mu v$ et je vérifie que ce vecteur satisfait encore la (ou les) condition(s) définissant $F$ .
3
Je conclus que $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^n$ .

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Exercice d'exemple

Montrer que $F=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x+y+z=0\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ .

Étape 1 —

Je vérifie que le vecteur nul

0_{\mathbb{R}^n}

appartient à

F

en le substituant dans la (ou les) condition(s) définissant

F

Pour $(0,0,0)$ : $0+0+0=0$ , donc $0_{\mathbb{R}^3}\in F$ et $F$ est non vide.

Étape 2 —

Je prends deux vecteurs quelconques

u,v\in F

et deux scalaires

\lambda,\mu\in\mathbb{R}

, je calcule

\lambda u+\mu v

et je vérifie que ce vecteur satisfait encore la (ou les) condition(s) définissant

F

Soient $u=(x,y,z)\in F$ , $v=(x',y',z')\in F$ et $\lambda,\mu\in\mathbb{R}$ . Alors $\lambda u+\mu v=(\lambda x+\mu x',\lambda y+\mu y',\lambda z+\mu z')$ et la somme de ses composantes vaut $\lambda(x+y+z)+\mu(x'+y'+z')=\lambda\cdot 0+\mu\cdot 0=0$ , donc $\lambda u+\mu v\in F$ .

Étape 3 —

Je conclus que

F

est un sous-espace vectoriel de

\mathbb{R}^n

$F$ contient $0$ et est stable par combinaison linéaire : c'est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ .

$F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ .

Application guidée

Montrer que $F=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid 2x-3y=0\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^2$ .

Application autonome 1

Montrer que $G=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4\mid x+y=0\text{ et }z-t=0\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^4$ .

Application autonome 2

Montrer que $H=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x+y=1\}$ n'est pas un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^2$ .

Application autonome 3

Montrer que $F=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid 3x-y+2z=0\text{ et }x+y=0\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ .

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En vérifiant que 0∈F0\in F0∈F et la stabilité par combinaisons linéaires (∀u,v∈F,∀λ,μ∈R,λu+μv∈F\forall u,v\in F, \forall \lambda,\mu\in\mathbb{R}, \lambda u+\mu v\in F∀u,v∈F,∀λ,μ∈R,λu+μv∈F)

Pour comprendre, fais des exercices !

En vérifiant que $0\in F$ et la stabilité par combinaisons linéaires ( $\forall u,v\in F, \forall \lambda,\mu\in\mathbb{R}, \lambda u+\mu v\in F$ )