En utilisant $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}({}^t\!A)$ lorsque cela facilite le calcul

L'objectif

Calculer le rang d'une matrice $A$ en travaillant sur sa transposée ${}^t\!A$ lorsque celle-ci se prête mieux au pivot de Gauss.

Le principe

Pour toute matrice $A\in\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})$ , on a $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}({}^t\!A)$ : autrement dit, le rang des lignes est égal au rang des colonnes, ce qui permet de choisir l'orientation la plus favorable pour le pivot.

La méthode

1
J'observe la matrice $A$ et je compare le travail à effectuer sur $A$ (pivot sur les lignes de $A$ , engendré par les colonnes) à celui sur ${}^t\!A$ (pivot sur les lignes de ${}^t\!A$ , c'est-à-dire en travaillant via les colonnes de $A$ ).
2
Si ${}^t\!A$ est plus simple (par exemple si $A$ comporte beaucoup plus de colonnes que de lignes ou présente une structure agréable en colonnes), je calcule $\mathrm{rg}({}^t\!A)$ par pivot de Gauss.
Comment résoudre un système linéaire par la méthode du pivot de Gauss ?Voir
3
Je conclus par l'égalité $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}({}^t\!A)$ .

Évalue la méthode

0/5 validés

Cherche chaque exercice au brouillon, puis coche “j'ai réussi” si tu as trouvé la bonne démarche. Utilise le bouton aide si tu as besoin d'un coup de pouce.

Application guidée 1

Calculer le rang de $A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{2,4}(\mathbb{R})$ par transposition.

Application guidée 2

Calculer le rang de $A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ 2 & 4 & 6 & 8 & 10\end{pmatrix}$ par transposition.

Application autonome 1

Calculer le rang de $A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 2\\ 1 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & -1 & -1\end{pmatrix}$ par transposition.

Application autonome 2

Calculer le rang de $A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 2\\ 2 & 1 & 5\\ 1 & 1 & 3\\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{4,3}(\mathbb{R})$ en passant par ${}^t\!A$ .

Application autonome 3

Calculer le rang de $A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1\\ 3 & 6 & 3\\ 2 & 4 & 2\\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{4,3}(\mathbb{R})$ en exploitant la transposée.

Connecte-toi pour cocher tes exercices réussis et sauvegarder ta progression.

En utilisant rg(A)=rg(t ⁣A)\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}({}^t\!A)rg(A)=rg(tA) lorsque cela facilite le calcul

Évalue la méthode

En utilisant $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}({}^t\!A)$ lorsque cela facilite le calcul