En résolvant le système homogène $AX=0$ par pivot et en exprimant $\mathrm{Ker}(A)$ comme $\mathrm{Vect}$ des vecteurs paramètres

L'objectif

Déterminer une base et la dimension de $\mathrm{Ker}(A)$ pour une matrice $A\in\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})$ .

Le principe

Pour $A\in\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})$ , $\mathrm{Ker}(A)$ est l'ensemble des solutions du système homogène $AX=0$ ; en échelonnant $A$ , on exprime les inconnues principales en fonction des inconnues libres, et on obtient une écriture $X=t_1 v_1+\dots+t_k v_k$ qui donne $\mathrm{Ker}(A)=\mathrm{Vect}(v_1,\dots,v_k)$ , avec $k=n-\mathrm{rg}(A)$ paramètres libres.

La méthode

1
J'écris le système $AX=0$ sous forme de système linéaire homogène, et je l'échelonne par la méthode du pivot de Gauss.
Comment résoudre un système linéaire par la méthode du pivot de Gauss ?Voir
2
J'identifie les inconnues principales (colonnes pivots) et les inconnues libres (colonnes sans pivot), puis je pose ces dernières comme paramètres $t_1,\dots,t_k$ et j'exprime les inconnues principales en fonction des $t_i$ .
3
Je factorise l'écriture de $X$ pour faire apparaître $X=t_1 v_1+\dots+t_k v_k$ et je conclus $\mathrm{Ker}(A)=\mathrm{Vect}(v_1,\dots,v_k)$ , famille libre donnant une base de dimension $k$ .
Comment déterminer une famille génératrice, une base, la dimension d'un sous-espace vectoriel ?Voir

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Application guidée 1

Déterminer $\mathrm{Ker}(A)$ pour $A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6\end{pmatrix}$ .

Application guidée 2

Déterminer $\mathrm{Ker}(A)$ pour $A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 5\end{pmatrix}$ .

Application autonome 1

Déterminer $\mathrm{Ker}(A)$ pour $A=\begin{pmatrix}1 & -1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & -1 & 0\end{pmatrix}$ .

Application autonome 2

Déterminer $\mathrm{Ker}(A)$ pour $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 3 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$ .

Application autonome 3

Déterminer $\mathrm{Ker}(A)$ pour $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4\end{pmatrix}$ .

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En résolvant le système homogène AX=0AX=0AX=0 par pivot et en exprimant Ker(A)\mathrm{Ker}(A)Ker(A) comme Vect\mathrm{Vect}Vect des vecteurs paramètres

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En résolvant le système homogène $AX=0$ par pivot et en exprimant $\mathrm{Ker}(A)$ comme $\mathrm{Vect}$ des vecteurs paramètres