En prenant le $\mathrm{Vect}$ des colonnes de la matrice associée et en extrayant une base par pivot

Déterminer une base et la dimension de $\mathrm{Im}(f)$ pour une application linéaire $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ de matrice $A\in\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})$ .

L'objectif

Déterminer une base et la dimension de $\mathrm{Im}(f)$ pour une application linéaire $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ de matrice $A\in\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})$ .

Le principe

Pour $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ linéaire de matrice $A$ relativement aux bases canoniques, $\mathrm{Im}(f)=\mathrm{Vect}(C_1,\dots,C_n)$ où $C_1,\dots,C_n$ sont les colonnes de $A$ ; on extrait une base de $\mathrm{Im}(f)$ en appliquant le pivot de Gauss à $A$ et en retenant les colonnes correspondant aux pivots, et $\dim\mathrm{Im}(f)=\mathrm{rg}(A)$ .

La méthode

1
J'écris la matrice $A\in\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})$ associée à $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ dans les bases canoniques, et j'affirme $\mathrm{Im}(f)=\mathrm{Vect}(C_1,\dots,C_n)$ .
2
J'applique la méthode du pivot de Gauss sur les lignes de $A$ pour l'échelonner et j'identifie les colonnes contenant un pivot.
Comment résoudre un système linéaire par la méthode du pivot de Gauss ?Voir
3
Je retiens les colonnes $C_j$ de $A$ (colonnes d'origine, pas celles de la forme échelonnée) correspondant aux colonnes pivots : elles forment une base de $\mathrm{Im}(f)$ , et $\dim\mathrm{Im}(f)=\mathrm{rg}(A)$ .

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Exercice d'exemple

Déterminer $\mathrm{Im}(f)$ pour $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ de matrice $A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6\\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}$ .

Étape 1 —

J'écris la matrice

A\in\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})

associée à

f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m

dans les bases canoniques, et j'affirme

\mathrm{Im}(f)=\mathrm{Vect}(C_1,\dots,C_n)

$\mathrm{Im}(f)=\mathrm{Vect}((1,2,0),(2,4,1),(3,6,1))$ .

Étape 2 —

J'applique la méthode du pivot de Gauss sur les lignes de

A

pour l'échelonner et j'identifie les colonnes contenant un pivot.

$L_2\leftarrow L_2-2L_1$ donne $\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}$ , puis $L_2\leftrightarrow L_3$ donne $\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$ . Pivots en colonnes 1 et 2.

Étape 3 —

Je retiens les colonnes

C_j

A

(colonnes d'origine, pas celles de la forme échelonnée) correspondant aux colonnes pivots : elles forment une base de

\mathrm{Im}(f)

, et

\dim\mathrm{Im}(f)=\mathrm{rg}(A)

Les colonnes 1 et 2 de $A$ (originales) forment une base : $\mathrm{Im}(f)=\mathrm{Vect}((1,2,0),(2,4,1))$ , $\dim\mathrm{Im}(f)=2$ .

Base $((1,2,0),(2,4,1))$ , $\dim\mathrm{Im}(f)=2$ .

Application guidée

Déterminer $\mathrm{Im}(f)$ pour $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3$ de matrice $A=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 2 & 3\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ .

Application autonome 1

Déterminer $\mathrm{Im}(f)$ pour $f:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3$ de matrice $A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 2 & 0\\ 0 & 1 & 1 & -1\end{pmatrix}$ .

Application autonome 2

Déterminer $\mathrm{Im}(f)$ pour $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ de matrice $A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 2\\ 2 & 3 & 5\\ 1 & 2 & 3\end{pmatrix}$ .

Application autonome 3

Déterminer $\mathrm{Im}(f)$ pour $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2$ de matrice $A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\end{pmatrix}$ .

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En prenant le Vect\mathrm{Vect}Vect des colonnes de la matrice associée et en extrayant une base par pivot

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En prenant le $\mathrm{Vect}$ des colonnes de la matrice associée et en extrayant une base par pivot