Comment déterminer une famille génératrice, une base, la dimension d'un sous-espace vectoriel ? | MetMat

Comment déterminer une famille génératrice, une base, la dimension d'un sous-espace vectoriel ?

En éliminant les vecteurs redondants par pivot de Gauss pour extraire une base

Extraire, d'une famille génératrice $(u_1,\dots,u_p)$ de $F$ , une base de $F$ par élimination des vecteurs redondants.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Extraire une base de $F=\mathrm{Vect}((1,1,0),(0,1,1),(1,0,-1))$ et donner $\dim F$ .

L'objectif

Extraire, d'une famille génératrice $(u_1,\dots,u_p)$ de $F$ , une base de $F$ par élimination des vecteurs redondants.

Le principe

Si $F=\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_p)$ , on peut extraire une base de $F$ en plaçant les $u_i$ en colonnes d'une matrice $A$ , en l'échelonnant par pivot de Gauss : les vecteurs initiaux $u_i$ correspondant aux colonnes contenant un pivot forment une base de $F$ , et $\dim F$ est le nombre de pivots.

La méthode

1
Je forme la matrice $A$ dont les colonnes sont les vecteurs $u_1,\dots,u_p$ de la famille génératrice de $F$ .
2
J'applique la méthode du pivot de Gauss sur les lignes de $A$ pour l'échelonner et je repère les colonnes contenant un pivot.
Comment résoudre un système linéaire par la méthode du pivot de Gauss ?Voir
3
Je conclus que les vecteurs $u_i$ correspondant aux colonnes pivots forment une base de $F$ , et que la dimension de $F$ est le nombre de pivots.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Extraire une base de $F=\mathrm{Vect}((1,1,0),(0,1,1),(1,0,-1))$ et donner $\dim F$ .

Étape 1 —

Je forme la matrice

A

dont les colonnes sont les vecteurs

u_1,\dots,u_p

de la famille génératrice de

F

Je forme $A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & -1\end{pmatrix}$ dont les colonnes sont les trois vecteurs.

Étape 2 —

J'applique la méthode du pivot de Gauss sur les lignes de

A

pour l'échelonner et je repère les colonnes contenant un pivot.

$L_2\leftarrow L_2-L_1$ donne $\begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 1 & -1\end{pmatrix}$ , puis $L_3\leftarrow L_3-L_2$ donne $\begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$ . Les pivots sont en colonnes 1 et 2.

Étape 3 —

Je conclus que les vecteurs

u_i

correspondant aux colonnes pivots forment une base de

F

, et que la dimension de

F

est le nombre de pivots.

Les vecteurs $(1,1,0)$ et $(0,1,1)$ correspondant aux colonnes 1 et 2 forment une base de $F$ ; $\dim F=2$ .

Base $((1,1,0),(0,1,1))$ , $\dim F=2$ .

Application guidée

Extraire une base de $F=\mathrm{Vect}((1,2,1),(2,4,2),(0,1,1))$ et donner $\dim F$ .

Application autonome 1

Extraire une base de $F=\mathrm{Vect}((1,0,1,0),(0,1,0,1),(1,1,1,1),(1,-1,1,-1))$ dans $\mathbb{R}^4$ .

Application autonome 2

Extraire une base de $F=\mathrm{Vect}\bigl((1,2,3),(2,5,8),(3,7,11)\bigr)$ dans $\mathbb{R}^3$ et donner $\dim F$ .

Application autonome 3

Extraire une base de $F=\mathrm{Vect}\bigl((1,1,2,0),(2,3,5,1),(0,1,1,1)\bigr)$ dans $\mathbb{R}^4$ et donner $\dim F$ .

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