Comment déterminer une famille génératrice, une base, la dimension d'un sous-espace vectoriel ? | MetMat

Comment déterminer une famille génératrice, une base, la dimension d'un sous-espace vectoriel ?

En décomposant un vecteur générique de $F$ comme combinaison linéaire pour exhiber des générateurs

Exhiber une famille génératrice de $F$ puis en déduire une base et la dimension de $F$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Déterminer une base et la dimension de $F=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x+y+z=0\}$ .

L'objectif

Exhiber une famille génératrice de $F$ puis en déduire une base et la dimension de $F$ .

Le principe

Si un vecteur générique de $F$ s'écrit $x=\sum_{i=1}^p t_i u_i$ avec des scalaires libres $t_1,\dots,t_p\in\mathbb{R}$ , alors $F=\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_p)$ ; si de plus la famille $(u_1,\dots,u_p)$ est libre, c'est une base de $F$ et $\dim F=p$ .

La méthode

1
Je paramètre les vecteurs de $F$ en utilisant les équations qui le définissent pour exprimer un vecteur générique en fonction d'un certain nombre de paramètres libres.
2
Je factorise l'expression obtenue par les paramètres libres pour faire apparaître une écriture $x=t_1 u_1+\dots+t_p u_p$ , et j'en déduis que $F=\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_p)$ .
3
Je vérifie que la famille $(u_1,\dots,u_p)$ est libre, et je conclus qu'elle est une base de $F$ de dimension $p$ .
Comment montrer qu'une famille de vecteurs est libre ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Déterminer une base et la dimension de $F=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x+y+z=0\}$ .

Étape 1 —

Je paramètre les vecteurs de

F

en utilisant les équations qui le définissent pour exprimer un vecteur générique en fonction d'un certain nombre de paramètres libres.

L'équation $x+y+z=0$ donne $x=-y-z$ ; je prends $y$ et $z$ comme paramètres libres.

Étape 2 —

Je factorise l'expression obtenue par les paramètres libres pour faire apparaître une écriture

x=t_1 u_1+\dots+t_p u_p

, et j'en déduis que

F=\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_p)

Un vecteur générique s'écrit $(x,y,z)=(-y-z,y,z)=y(-1,1,0)+z(-1,0,1)$ , donc $F=\mathrm{Vect}((-1,1,0),(-1,0,1))$ , soit encore $\mathrm{Vect}((1,-1,0),(1,0,-1))$ en prenant les opposés.

Étape 3 —

Je vérifie que la famille

(u_1,\dots,u_p)

est libre, et je conclus qu'elle est une base de

F

de dimension

p

La famille $((1,-1,0),(1,0,-1))$ est libre (deux vecteurs non colinéaires car leurs deux premières composantes $(1,-1)$ et $(1,0)$ ne sont pas proportionnelles), donc c'est une base de $F$ et $\dim F=2$ .

Base $((1,-1,0),(1,0,-1))$ , $\dim F=2$ .

Application guidée

Déterminer une base et la dimension de $G=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4\mid x-y=0\text{ et }z+t=0\}$ .

Application autonome 1

Déterminer une base et la dimension de $H=\{(a+b,a-b,2a)\mid (a,b)\in\mathbb{R}^2\}\subset\mathbb{R}^3$ .

Application autonome 2

Déterminer une base et la dimension de $F=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x-y=0\text{ et }x-z=0\}$ .

Application autonome 3

Déterminer une base et la dimension de $G=\{(a-b,a+b,2a-b,3b)\mid (a,b)\in\mathbb{R}^2\}\subset\mathbb{R}^4$ .

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En décomposant un vecteur générique de FFF comme combinaison linéaire pour exhiber des générateurs

Pour comprendre, fais des exercices !

En décomposant un vecteur générique de $F$ comme combinaison linéaire pour exhiber des générateurs