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Comment déterminer une famille génératrice, une base, la dimension d'un sous-espace vectoriel ?

En décomposant un vecteur générique de FF comme combinaison linéaire pour exhiber des générateurs

L'objectif

Exhiber une famille génératrice de FF puis en déduire une base et la dimension de FF.

Le principe

Si un vecteur générique de FF s'écrit x=∑i=1ptiuix=\sum_{i=1}^p t_i u_i avec des scalaires libres t1,…,tp∈Rt_1,\dots,t_p\in\mathbb{R}, alors F=Vect(u1,…,up)F=\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_p) ; si de plus la famille (u1,…,up)(u_1,\dots,u_p) est libre, c'est une base de FF et dim⁡F=p\dim F=p.

La méthode
  1. 1
    Je paramètre les vecteurs de FF en utilisant les équations qui le définissent pour exprimer un vecteur générique en fonction d'un certain nombre de paramètres libres.
  2. 2
    Je factorise l'expression obtenue par les paramètres libres pour faire apparaître une écriture x=t1u1+⋯+tpupx=t_1 u_1+\dots+t_p u_p, et j'en déduis que F=Vect(u1,…,up)F=\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_p).
  3. 3
    Je vérifie que la famille (u1,…,up)(u_1,\dots,u_p) est libre, et je conclus qu'elle est une base de FF de dimension pp.
    Voir

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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