Comment résoudre une équation différentielle linéaire d'ordre 1 $y'+ay=b(t)$ ? | MetMat

Comment résoudre une équation différentielle linéaire d'ordre 1 $y'+ay=b(t)$ ?

En écrivant la solution générale comme somme de la solution générale de l'équation homogène ( $Ce^{-at}$ ) et d'une solution particulière de l'équation complète

Déterminer explicitement toutes les fonctions $y$ vérifiant $y'+ay=b(t)$ sur un intervalle $I$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation $y'+2y=3$ .

L'objectif

Déterminer explicitement toutes les fonctions $y$ vérifiant $y'+ay=b(t)$ sur un intervalle $I$ .

Le principe

L'ensemble des solutions de $y'+ay=b(t)$ (avec $a\in\mathbb{R}$ constant et $b$ continue sur $I$ ) est la droite affine $y_H+y_P$ , où $y_H(t)=Ce^{-at}$ ( $C\in\mathbb{R}$ ) est la solution générale de l'équation homogène $y'+ay=0$ et $y_P$ est une solution particulière de l'équation complète.

La méthode

1
J'identifie $a$ et $b(t)$ , je vérifie que l'équation est bien linéaire à coefficient constant, puis j'écris la solution générale de l'équation homogène $y_H(t)=Ce^{-at}$ avec $C\in\mathbb{R}$ .
2
Je cherche une solution particulière $y_P$ de forme adaptée au second membre (constante si $b$ est constant, polynôme de même degré si $b$ est polynomial, $\alpha e^{kt}$ si $b(t)=\beta e^{kt}$ avec $k\neq -a$ , $\alpha\cos t+\beta\sin t$ si $b$ est trigonométrique).
3
Je conclus : l'ensemble des solutions est $y(t)=Ce^{-at}+y_P(t)$ , $C\in\mathbb{R}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation $y'+2y=3$ .

Étape 1 —

J'identifie

a

b(t)

, je vérifie que l'équation est bien linéaire à coefficient constant, puis j'écris la solution générale de l'équation homogène

y_H(t)=Ce^{-at}

avec

C\in\mathbb{R}

L'équation est linéaire d'ordre 1 à coefficient constant $a=2$ ; la solution homogène est $y_H(t)=Ce^{-2t}$ , $C\in\mathbb{R}$ .

Étape 2 —

Je cherche une solution particulière

y_P

de forme adaptée au second membre (constante si

b

est constant, polynôme de même degré si

b

est polynomial,

\alpha e^{kt}

b(t)=\beta e^{kt}

avec

k\neq -a

\alpha\cos t+\beta\sin t

b

est trigonométrique).

Le second membre est constant, je cherche $y_P=\lambda$ constante : $0+2\lambda=3$ donne $\lambda=\frac{3}{2}$ .

Étape 3 —

Je conclus : l'ensemble des solutions est

y(t)=Ce^{-at}+y_P(t)

C\in\mathbb{R}

Les solutions sont $y(t)=Ce^{-2t}+\frac{3}{2}$ , $C\in\mathbb{R}$ .

$y(t)=Ce^{-2t}+\dfrac{3}{2}$ , $C\in\mathbb{R}$ .

Application guidée

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation $y'+y=e^{t}$ .

Application autonome 1

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation $y'+y=t$ .

Application autonome 2

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation $y'+y=\sin t$ .

Application autonome 3

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation $y'-y=t^2$ .

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En écrivant la solution générale comme somme de la solution générale de l'équation homogène (Ce−atCe^{-at}Ce−at) et d'une solution particulière de l'équation complète

Pour comprendre, fais des exercices !

En écrivant la solution générale comme somme de la solution générale de l'équation homogène ( $Ce^{-at}$ ) et d'une solution particulière de l'équation complète