En remplaçant les conditions initiales $y(t_0)=y_0$ (et $y'(t_0)=y_1$ pour l'ordre 2) dans la solution générale pour fixer les constantes

Déterminer la trajectoire unique solution d'un problème de Cauchy pour une équation linéaire à coefficients constants.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Déterminer la trajectoire solution de $y'+y=0$ vérifiant $y(0)=2$ .

L'objectif

Déterminer la trajectoire unique solution d'un problème de Cauchy pour une équation linéaire à coefficients constants.

Le principe

Pour une équation linéaire à coefficients constants, le théorème de Cauchy-Lipschitz garantit qu'étant donnés $t_0\in\mathbb{R}$ , $y_0\in\mathbb{R}$ (et $y_1\in\mathbb{R}$ à l'ordre 2), il existe une unique solution vérifiant $y(t_0)=y_0$ (et $y'(t_0)=y_1$ ) : elle s'obtient en fixant les constantes d'intégration via ces conditions.

La méthode

1
J'écris la solution générale $y(t)$ de l'équation sous forme paramétrée par $C$ (ordre 1) ou $(\alpha,\beta)$ (ordre 2).
2
Je substitue $t=t_0$ dans $y(t)$ (et dans $y'(t)$ pour l'ordre 2) pour obtenir un système linéaire en les constantes à partir des conditions imposées.
Comment résoudre un système linéaire par la méthode du pivot de Gauss ?Voir
3
Je résous ce système pour fixer les valeurs des constantes et j'écris l'expression finale de la trajectoire unique.
Comment résoudre un système linéaire par la méthode du pivot de Gauss ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Déterminer la trajectoire solution de $y'+y=0$ vérifiant $y(0)=2$ .

Étape 1 —

J'écris la solution générale

y(t)

de l'équation sous forme paramétrée par

C

(ordre 1) ou

(\alpha,\beta)

(ordre 2).

L'équation caractéristique est immédiate : la solution générale est $y(t)=Ce^{-t}$ , $C\in\mathbb{R}$ .

Étape 2 —

Je substitue

t=t_0

dans

y(t)

(et dans

y'(t)

pour l'ordre 2) pour obtenir un système linéaire en les constantes à partir des conditions imposées.

La condition $y(0)=2$ donne $Ce^{0}=C=2$ .

Étape 3 —

Je résous ce système pour fixer les valeurs des constantes et j'écris l'expression finale de la trajectoire unique.

Ainsi $y(t)=2e^{-t}$ .

$y(t)=2e^{-t}$ .

Application guidée

Déterminer la trajectoire solution de $y''-y=0$ vérifiant $y(0)=1$ et $y'(0)=0$ .

Application autonome 1

Déterminer la trajectoire solution de $y'+2y=3$ vérifiant $y(0)=0$ .

Application autonome 2

Déterminer la trajectoire solution de $y''-3y'+2y=0$ vérifiant $y(0)=1$ et $y'(0)=3$ .

Application autonome 3

Déterminer la trajectoire solution de $y''-5y'+6y=0$ vérifiant $y(0)=1$ et $y'(0)=0$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En remplaçant les conditions initiales y(t0)=y0y(t_0)=y_0y(t0​)=y0​ (et y′(t0)=y1y'(t_0)=y_1y′(t0​)=y1​ pour l'ordre 2) dans la solution générale pour fixer les constantes

Pour comprendre, fais des exercices !

En remplaçant les conditions initiales $y(t_0)=y_0$ (et $y'(t_0)=y_1$ pour l'ordre 2) dans la solution générale pour fixer les constantes