En remplaçant les conditions initiales $y(t_0)=y_0$ (et $y'(t_0)=y_1$ pour l'ordre 2) dans la solution générale pour fixer les constantes

Pour une équation linéaire à coefficients constants, le théorème de Cauchy-Lipschitz garantit qu'étant donnés $t_0\in\mathbb{R}$, $y_0\in\mathbb{R}$ (et $y_1\in\mathbb{R}$ à l'ordre 2), il existe une unique solution vérifiant $y(t_0)=y_0$ (et $y'(t_0)=y_1$) : elle s'obtient en fixant les constantes d'intégration via ces conditions.