Comment étudier les variations d'une fonction à l'aide du signe de sa dérivée ? | MetMat

Comment étudier les variations d'une fonction à l'aide du signe de sa dérivée ?

En factorisant $f'(x)$ pour étudier son signe sur le domaine et en dressant le tableau de variations

Déterminer le sens de variation d'une fonction dérivable sur un intervalle.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Étudier les variations de $f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$ sur $\mathbb{R}$ .

L'objectif

Déterminer le sens de variation d'une fonction dérivable sur un intervalle.

Le principe

Si $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ , alors $f$ est croissante sur $I$ ssi $f'\geq 0$ sur $I$ , décroissante ssi $f'\leq 0$ , et constante ssi $f'=0$ ; si $f'>0$ sur $I$ (sauf éventuellement en un nombre fini de points), alors $f$ est strictement croissante.

La méthode

1
Je justifie la dérivabilité de $f$ sur son domaine $I$ et je calcule $f'(x)$ .
Comment calculer la dérivée d'une fonction ?Voir
2
Je factorise $f'(x)$ ou j'étudie directement son signe en fonction de $x$ , en repérant les zéros de $f'$ .
3
Je dresse le tableau de variations de $f$ en indiquant les valeurs aux bornes, les limites et les extremums éventuels.
Comment dresser le tableau de variations d'une fonction ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Étudier les variations de $f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$ sur $\mathbb{R}$ .

Étape 1 —

Je justifie la dérivabilité de

f

sur son domaine

I

et je calcule

f'(x)

$f$ est un quotient de fonctions dérivables à dénominateur non nul sur $\mathbb{R}$ , donc dérivable sur $\mathbb{R}$ ; $f'(x)=\frac{(x^2+1)-x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$ .

Étape 2 —

Je factorise

f'(x)

ou j'étudie directement son signe en fonction de

x

, en repérant les zéros de

f'

Le dénominateur est strictement positif, donc $f'(x)$ a le signe de $1-x^2=(1-x)(1+x)$ : positif sur $]-1,1[$ , négatif sur $]-\infty,-1[\cup]1,+\infty[$ , nul en $\pm 1$ .

Étape 3 —

Je dresse le tableau de variations de

f

en indiquant les valeurs aux bornes, les limites et les extremums éventuels.

Tableau de variations :

$f$ décroît sur $]-\infty,-1]$ , croît sur $[-1,1]$ , décroît sur $[1,+\infty[$ ; minimum $-\frac{1}{2}$ en $-1$ , maximum $\frac{1}{2}$ en $1$ .

Application guidée

Étudier les variations de $f(x)=xe^{-x}$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 1

Étudier les variations de $f(x)=x^3-3x+2$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 2

Étudier les variations de $f(x)=x^2 e^{-x}$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 3

Étudier les variations de $f(x)=\ln(1+x^2)-x$ sur $\mathbb{R}$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En factorisant f′(x)f'(x)f′(x) pour étudier son signe sur le domaine et en dressant le tableau de variations

Pour comprendre, fais des exercices !

En factorisant $f'(x)$ pour étudier son signe sur le domaine et en dressant le tableau de variations