En majorant $|f(b)-f(a)|\leq k|b-a|$ à partir d'un contrôle $|f'|\leq k$ sur l'intervalle

Majorer l'écart $|f(b)-f(a)|$ en utilisant une borne de $|f'|$ sur le segment $[a,b]$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que pour tous $a,b\in\mathbb{R}$ , $|\sin b-\sin a|\leq|b-a|$ .

L'objectif

Majorer l'écart $|f(b)-f(a)|$ en utilisant une borne de $|f'|$ sur le segment $[a,b]$ .

Le principe

Inégalité des accroissements finis : si $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ et s'il existe $k\geq 0$ tel que $|f'(x)|\leq k$ pour tout $x\in I$ , alors pour tous $a,b\in I$ : $|f(b)-f(a)|\leq k|b-a|$ .

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est dérivable sur l'intervalle $I$ contenant $a$ et $b$ .
2
Je calcule $f'$ et je détermine un majorant $k$ de $|f'|$ sur $I$ .
Comment calculer la dérivée d'une fonction ?Voir
3
J'applique l'IAF pour conclure $|f(b)-f(a)|\leq k|b-a|$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer que pour tous $a,b\in\mathbb{R}$ , $|\sin b-\sin a|\leq|b-a|$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

f

est dérivable sur l'intervalle

I

contenant

a

b

$f=\sin$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ .

Étape 2 —

Je calcule

f'

et je détermine un majorant

k

|f'|

sur

I

$f'(x)=\cos x$ et $|\cos x|\leq 1$ pour tout $x\in\mathbb{R}$ , donc on prend $k=1$ .

Étape 3 —

J'applique l'IAF pour conclure

|f(b)-f(a)|\leq k|b-a|

Par IAF : $|\sin b-\sin a|\leq 1\cdot|b-a|=|b-a|$ .

$|\sin b-\sin a|\leq|b-a|$ pour tous $a,b\in\mathbb{R}$ .

Application guidée

Montrer que pour tous $x,y\in[0,1]$ : $|\ln(1+x)-\ln(1+y)|\leq|x-y|$ .

Application autonome 1

Montrer que pour tous $x,y\in[1,+\infty[$ : $|\sqrt{x}-\sqrt{y}|\leq\frac{1}{2}|x-y|$ .

Application autonome 2

Montrer que pour tous $x,y\in[0,3]$ : $|x^2-y^2|\le 6|x-y|$ .

Application autonome 3

Montrer que pour tous $x,y\in[0,1]$ : $|e^x-e^y|\le e\cdot|x-y|$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En majorant ∣f(b)−f(a)∣≤k∣b−a∣|f(b)-f(a)|\leq k|b-a|∣f(b)−f(a)∣≤k∣b−a∣ à partir d'un contrôle ∣f′∣≤k|f'|\leq k∣f′∣≤k sur l'intervalle

Pour comprendre, fais des exercices !

En majorant $|f(b)-f(a)|\leq k|b-a|$ à partir d'un contrôle $|f'|\leq k$ sur l'intervalle