Comment étudier la dérivabilité d'une fonction en un point ou sur un intervalle ? | MetMat

Comment étudier la dérivabilité d'une fonction en un point ou sur un intervalle ?

En invoquant la dérivabilité des fonctions usuelles et les opérations (somme, produit, quotient, composition)

Établir rapidement la dérivabilité d'une fonction sur un intervalle en la décomposant en opérations de fonctions usuelles.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $f(x)=\dfrac{e^x}{x^2+1}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ .

L'objectif

Établir rapidement la dérivabilité d'une fonction sur un intervalle en la décomposant en opérations de fonctions usuelles.

Le principe

Les fonctions polynomiales, rationnelles (sur leur ensemble de définition), $\exp$ , $\ln$ , $\sqrt{\cdot}$ (sur $]0,+\infty[$ ), $\sin$ , $\cos$ sont dérivables sur leur domaine, et les opérations (somme, produit, quotient à dénominateur non nul, composition) préservent la dérivabilité.

La méthode

1
J'identifie l'intervalle $I$ d'étude et je décompose $f$ en briques de fonctions usuelles.
2
Je justifie la dérivabilité de chaque brique sur $I$ et je vérifie les conditions d'application (dénominateurs non nuls, arguments dans le domaine).
3
Je conclus que $f$ est dérivable sur $I$ par composition/somme/produit/quotient de fonctions dérivables.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer que $f(x)=\dfrac{e^x}{x^2+1}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ .

Étape 1 —

J'identifie l'intervalle

I

d'étude et je décompose

f

en briques de fonctions usuelles.

On étudie $f$ sur $\mathbb{R}$ ; je vois que $f$ est un quotient $u/v$ avec $u(x)=e^x$ et $v(x)=x^2+1$ .

Étape 2 —

Je justifie la dérivabilité de chaque brique sur

I

et je vérifie les conditions d'application (dénominateurs non nuls, arguments dans le domaine).

$u=\exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ , $v$ est une fonction polynomiale donc dérivable sur $\mathbb{R}$ , et $v(x)=x^2+1\geq 1>0$ pour tout $x\in\mathbb{R}$ : le dénominateur ne s'annule jamais.

Étape 3 —

Je conclus que

f

est dérivable sur

I

par composition/somme/produit/quotient de fonctions dérivables.

Par quotient de fonctions dérivables à dénominateur non nul, $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ .

$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ .

Application guidée

Montrer que $g(x)=\ln(1+x^2)$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 1

Déterminer le plus grand intervalle sur lequel $h(x)=\sqrt{x-1}\cdot \ln x$ est dérivable.

Application autonome 2

Déterminer le plus grand intervalle sur lequel $f(x)=\dfrac{\ln(1+x^2)}{1+e^x}$ est dérivable.

Application autonome 3

Montrer que $g(x)=\sqrt{x+1}\cdot e^{-x}$ est dérivable sur $]-1,+\infty[$ mais pas en $x=-1$ .

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