Comment étudier la convexité/concavité d'une fonction de classe $\mathcal{C}^2$ et ses points d'inflexion ? | MetMat

Comment étudier la convexité/concavité d'une fonction de classe $\mathcal{C}^2$ et ses points d'inflexion ?

En étudiant le signe de $f''$ (convexe si $f''\geq 0$ , concave si $f''\leq 0$ ) et en repérant les changements de signe comme points d'inflexion

L'objectif

Déterminer les intervalles de convexité et de concavité de $f$ et ses éventuels points d'inflexion.

Le principe

Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur un intervalle $I$ , alors $f$ est convexe sur $I$ ssi $f''\geq 0$ sur $I$ , concave ssi $f''\leq 0$ ; un point $x_0\in I$ où $f''$ s'annule en changeant de signe est un point d'inflexion (la courbe traverse sa tangente).

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $I$ , puis je calcule $f'$ et $f''$ .
Comment calculer la dérivée d'une fonction ?Voir
2
J'étudie le signe de $f''(x)$ et je repère les zéros et changements de signe.
3
Je conclus : $f$ est convexe sur les intervalles où $f''\geq 0$ , concave là où $f''\leq 0$ , et les changements de signe de $f''$ donnent les points d'inflexion.

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Application guidée 1

Étudier la convexité de $f(x)=e^x$ sur $\mathbb{R}$ .

Application guidée 2

Étudier la convexité de $f(x)=\ln x$ sur $]0,+\infty[$ .

Application autonome 1

Étudier la convexité de $f(x)=x^3$ sur $\mathbb{R}$ et déterminer ses points d'inflexion.

Application autonome 2

Étudier la convexité de $f(x)=xe^{-x}$ sur $\mathbb{R}$ et ses points d'inflexion.

Application autonome 3

Étudier la convexité de $f(x)=\ln(1+e^x)$ sur $\mathbb{R}$ .

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En étudiant le signe de f′′f''f′′ (convexe si f′′≥0f''\geq 0f′′≥0, concave si f′′≤0f''\leq 0f′′≤0) et en repérant les changements de signe comme points d'inflexion

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En étudiant le signe de $f''$ (convexe si $f''\geq 0$ , concave si $f''\leq 0$ ) et en repérant les changements de signe comme points d'inflexion