En appliquant les règles (linéarité, produit $uv$ , quotient $u/v$ , composition $(v\circ u)'=u'\cdot v'\circ u$ ) et les dérivées de référence

Obtenir l'expression explicite de $f'(x)$ pour une fonction dérivable construite à partir de fonctions usuelles.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dériver $f(x)=x^3\ln x$ sur $]0,+\infty[$ .

L'objectif

Obtenir l'expression explicite de $f'(x)$ pour une fonction dérivable construite à partir de fonctions usuelles.

Le principe

Si $u,v$ sont dérivables sur un intervalle $I$ , alors $(u+v)'=u'+v'$ , $(uv)'=u'v+uv'$ , $(u/v)'=(u'v-uv')/v^2$ (là où $v\neq 0$ ) et $(v\circ u)'=u'\cdot(v'\circ u)$ ; les dérivées usuelles sont $(x^n)'=nx^{n-1}$ , $(e^x)'=e^x$ , $(\ln x)'=1/x$ , $(\sqrt{x})'=1/(2\sqrt{x})$ .

La méthode

1
Identifier la structure de $f$ (somme, produit, quotient, composée) et les briques $u,v$ avec leurs dérivées respectives.
2
J'applique la règle de dérivation adéquate et je remplace chaque dérivée par son expression.
3
Je simplifie l'expression obtenue (factorisation, mise au même dénominateur) et j'énonce le résultat en précisant l'intervalle de validité.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Dériver $f(x)=x^3\ln x$ sur $]0,+\infty[$ .

Étape 1 —

Identifier la structure de

f

(somme, produit, quotient, composée) et les briques

u,v

avec leurs dérivées respectives.

$f=uv$ avec $u(x)=x^3$ dérivable sur $\mathbb{R}$ (donc sur $]0,+\infty[$ ), $u'(x)=3x^2$ ; $v(x)=\ln x$ dérivable sur $]0,+\infty[$ , $v'(x)=1/x$ .

Étape 2 —

J'applique la règle de dérivation adéquate et je remplace chaque dérivée par son expression.

$(uv)'=u'v+uv'$ donne $f'(x)=3x^2\ln x+x^3\cdot\frac{1}{x}=3x^2\ln x+x^2$ .

Étape 3 —

Je simplifie l'expression obtenue (factorisation, mise au même dénominateur) et j'énonce le résultat en précisant l'intervalle de validité.

Je factorise : $f'(x)=x^2(3\ln x+1)$ sur $]0,+\infty[$ .

$f'(x)=x^2(3\ln x+1)$ sur $]0,+\infty[$ .

Application guidée

Dériver $f(x)=\dfrac{e^x}{x+1}$ sur $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ .

Application autonome 1

Dériver $f(x)=\ln(x^2+1)$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 2

Dériver $f(x)=e^{-x^2}$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 3

Dériver $f(x)=\sqrt{x}\,(2x-1)$ sur $]0,+\infty[$ .

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En appliquant les règles (linéarité, produit uvuvuv, quotient u/vu/vu/v, composition (v∘u)′=u′⋅v′∘u(v\circ u)'=u'\cdot v'\circ u(v∘u)′=u′⋅v′∘u) et les dérivées de référence

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant les règles (linéarité, produit $uv$ , quotient $u/v$ , composition $(v\circ u)'=u'\cdot v'\circ u$ ) et les dérivées de référence