Comment appliquer l'inégalité de Markov ou de Bienaymé-Chebyshev pour majorer $P(|X - m| \geq a)$ ? | MetMat

Comment appliquer l'inégalité de Markov ou de Bienaymé-Chebyshev pour majorer $P(|X - m| \geq a)$ ?

En appliquant l'inégalité de Markov ou Bienaymé-Chebyshev selon le moment disponible

Obtenir une borne supérieure sur $P(|X-m| \geq a)$ (ou $P(|X| \geq a)$) à partir de la connaissance d'un moment d'ordre $p$ de $X$.

L'objectif

Obtenir une borne supérieure sur $P(|X-m| \geq a)$ (ou $P(|X| \geq a)$ ) à partir de la connaissance d'un moment d'ordre $p$ de $X$ .

Le principe

Les deux inégalités découlent du même argument : $|X|^p \geq a^p \mathbf{1}_{|X| \geq a}$ , donc $E(|X|^p) \geq a^p P(|X| \geq a)$ . L'inégalité de Markov ( $p \geq 1$ ) est la forme générale ; Bienaymé-Chebyshev est le cas $p=2$ appliqué à $X - E(X)$ .

La méthode

1
Identifier la quantité à majorer : $P(|X| \geq a)$ (Markov) ou $P(|X - m| \geq a)$ avec $m = E(X)$ (Bienaymé-Chebyshev).
2
Vérifier que le moment requis est fini : $E(|X|^p) < \infty$ pour Markov d'ordre $p$ , ou $\mathrm{Var}(X) < \infty$ pour Bienaymé-Chebyshev.
3
Appliquer l'inégalité choisie : Markov : $P(|X| \geq a) \leq \frac{E(|X|^p)}{a^p}$ ; Bienaymé-Chebyshev : $P(|X-m| \geq a) \leq \frac{\mathrm{Var}(X)}{a^2}$ .
4
Substituer les valeurs de $E(|X|^p)$ ou $\mathrm{Var}(X)$ et simplifier la borne obtenue.
5
Interpréter : la borne est universelle mais souvent pessimiste. Pour $a = k\sigma_X$ , Bienaymé-Chebyshev donne $P(|X-m| \geq k\sigma) \leq 1/k^2$ ; en particulier pour $k=10$ , la probabilité est inférieure à $1/100 = 0.01$ .

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Application guidée 1

Soit $X$ une v.a. de carré intégrable avec $E(X) = 3$ et $\mathrm{Var}(X) = 4$ . Majorer $P(|X - 3| \geq 6)$ .

Application guidée 2

Soit $X$ une v.a. positive avec $E(X^2) = 16$ . Majorer $P(X \geq 8)$ par l'inégalité de Markov d'ordre 2.

Application autonome 1

Soit $X \sim \mathcal{U}([0,1])$ . Comparer la borne de Bienaymé-Chebyshev pour $P(|X - 1/2| \geq 1/2)$ avec la valeur exacte.

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