Comment calculer espérance et variance des lois usuelles continues (uniforme, exp, gamma, normale) ? | MetMat

Comment calculer espérance et variance des lois usuelles continues (uniforme, exp, gamma, normale) ?

En calculant les moments via la propriété de transfert pour chaque loi continue usuelle

Calculer et mémoriser $E(X)$ et $\mathrm{Var}(X)$ pour les quatre lois continues usuelles ( $\mathcal{U}([a,b])$ , $\mathcal{E}(\lambda)$ , $\Gamma(\alpha,\theta)$ , $\mathcal{N}(m,\sigma^2)$ ) à partir de la définition par intégrale.

L'objectif

Le principe

Chaque loi continue admet une densité explicite. On calcule $E(X) = \int x f_X(x)\,dx$ et $E(X^2) = \int x^2 f_X(x)\,dx$ par intégration par parties ou substitution, puis $\mathrm{Var}(X) = E(X^2) - E(X)^2$ . Pour la loi gamma, on utilise la fonction $\Gamma(\alpha) = \int_0^\infty t^{\alpha-1}e^{-t}\,dt$ .

La méthode

1
Identifier la loi et sa densité : $\mathcal{U}([a,b])$ : $f = \frac{1}{b-a}\mathbf{1}_{[a,b]}$ ; $\mathcal{E}(\lambda)$ : $f = \lambda e^{-\lambda x}\mathbf{1}_{x\geq0}$ ; $\Gamma(\alpha,\theta)$ : $f = \frac{\theta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1}e^{-\theta x}\mathbf{1}_{x>0}$ ; $\mathcal{N}(m,\sigma^2)$ : $f = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-(x-m)^2/(2\sigma^2)}$ .
2
Calculer $E(X) = \int x f_X(x)\,dx$ : pour $\mathcal{U}([a,b])$ , c'est $\frac{a+b}{2}$ (milieu) ; pour $\mathcal{E}(\lambda)$ , intégration par parties donne $\frac{1}{\lambda}$ ; pour $\Gamma(\alpha,\theta)$ , utiliser $\int x^\alpha e^{-\theta x}\,dx = \frac{\Gamma(\alpha+1)}{\theta^{\alpha+1}}$ pour obtenir $\frac{\alpha}{\theta}$ ; pour $\mathcal{N}(m,\sigma^2)$ , substitution $z=(x-m)/\sigma$ donne $m$ .
3
Calculer $E(X^2)$ : pour $\mathcal{U}([a,b])$ , $\frac{a^2+ab+b^2}{3}$ ; pour $\mathcal{E}(\lambda)$ , intégrations par parties successives donnent $\frac{2}{\lambda^2}$ ; pour $\Gamma(\alpha,\theta)$ , $\frac{\alpha(\alpha+1)}{\theta^2}$ ; pour $\mathcal{N}(m,\sigma^2)$ , $m^2 + \sigma^2$ .
4
Appliquer la formule de Huygens : $\mathrm{Var}(X) = E(X^2) - E(X)^2$ pour obtenir : $\mathcal{U}([a,b])$ : $\frac{(b-a)^2}{12}$ ; $\mathcal{E}(\lambda)$ : $\frac{1}{\lambda^2}$ ; $\Gamma(\alpha,\theta)$ : $\frac{\alpha}{\theta^2}$ ; $\mathcal{N}(m,\sigma^2)$ : $\sigma^2$ .
5
Retenir le tableau récapitulatif : $\begin{array}{lll} \text{Loi} & E(X) & \mathrm{Var}(X) \\ \mathcal{U}([a,b]) & \frac{a+b}{2} & \frac{(b-a)^2}{12} \\ \mathcal{E}(\lambda) & \frac{1}{\lambda} & \frac{1}{\lambda^2} \\ \Gamma(\alpha,\theta) & \frac{\alpha}{\theta} & \frac{\alpha}{\theta^2} \\ \mathcal{N}(m,\sigma^2) & m & \sigma^2 \end{array}$

Pour comprendre, fais des exercices !

0/3 validés

Exercice d'exemple

Soit $X \sim \mathcal{E}(\lambda)$ avec $\lambda > 0$ . Calculer $E(X)$ et $\mathrm{Var}(X)$ par intégrations par parties.

Étape 1 —

Identifier la loi et sa densité :

\mathcal{U}([a,b])

f = \frac{1}{b-a}\mathbf{1}_{[a,b]}

;

\mathcal{E}(\lambda)

f = \lambda e^{-\lambda x}\mathbf{1}_{x\geq0}

;

\Gamma(\alpha,\theta)

f = \frac{\theta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1}e^{-\theta x}\mathbf{1}_{x>0}

;

\mathcal{N}(m,\sigma^2)

f = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-(x-m)^2/(2\sigma^2)}

$f_X(x) = \lambda e^{-\lambda x} \mathbf{1}_{x \geq 0}$ .

Étape 2 —

Calculer

E(X) = \int x f_X(x)\,dx

: pour

\mathcal{U}([a,b])

, c'est

\frac{a+b}{2}

(milieu) ; pour

\mathcal{E}(\lambda)

, intégration par parties donne

\frac{1}{\lambda}

; pour

\Gamma(\alpha,\theta)

, utiliser

\int x^\alpha e^{-\theta x}\,dx = \frac{\Gamma(\alpha+1)}{\theta^{\alpha+1}}

pour obtenir

\frac{\alpha}{\theta}

; pour

\mathcal{N}(m,\sigma^2)

, substitution

z=(x-m)/\sigma

donne

m

$E(X) = \int_0^{+\infty} x \lambda e^{-\lambda x}\,dx = \left[-x e^{-\lambda x}\right]_0^{+\infty} + \int_0^{+\infty} e^{-\lambda x}\,dx = 0 + \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{\lambda}$ .

Étape 3 —

Calculer

E(X^2)

: pour

\mathcal{U}([a,b])

\frac{a^2+ab+b^2}{3}

; pour

\mathcal{E}(\lambda)

, intégrations par parties successives donnent

\frac{2}{\lambda^2}

; pour

\Gamma(\alpha,\theta)

\frac{\alpha(\alpha+1)}{\theta^2}

; pour

\mathcal{N}(m,\sigma^2)

m^2 + \sigma^2

$E(X^2) = \int_0^{+\infty} x^2 \lambda e^{-\lambda x}\,dx = \left[-x^2 e^{-\lambda x}\right]_0^{+\infty} + \int_0^{+\infty} 2x e^{-\lambda x}\,dx = 0 + \frac{2}{\lambda} E(X) = \frac{2}{\lambda^2}$ .

Étape 4 —

Appliquer la formule de Huygens :

\mathrm{Var}(X) = E(X^2) - E(X)^2

pour obtenir :

\mathcal{U}([a,b])

\frac{(b-a)^2}{12}

;

\mathcal{E}(\lambda)

\frac{1}{\lambda^2}

;

\Gamma(\alpha,\theta)

\frac{\alpha}{\theta^2}

;

\mathcal{N}(m,\sigma^2)

\sigma^2

$\mathrm{Var}(X) = E(X^2) - E(X)^2 = \frac{2}{\lambda^2} - \frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{\lambda^2}$ .

Étape 5 —

Retenir le tableau récapitulatif :

\begin{array}{lll} \text{Loi} & E(X) & \mathrm{Var}(X) \\ \mathcal{U}([a,b]) & \frac{a+b}{2} & \frac{(b-a)^2}{12} \\ \mathcal{E}(\lambda) & \frac{1}{\lambda} & \frac{1}{\lambda^2} \\ \Gamma(\alpha,\theta) & \frac{\alpha}{\theta} & \frac{\alpha}{\theta^2} \\ \mathcal{N}(m,\sigma^2) & m & \sigma^2 \end{array}

$\sigma_X = \frac{1}{\lambda} = E(X)$ : l'écart-type d'une loi exponentielle est égal à son espérance (coefficient de variation = 1).

$E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$ , $\mathrm{Var}(X) = \dfrac{1}{\lambda^2}$

Application guidée

Soit $X \sim \Gamma(\alpha, \theta)$ avec $\alpha, \theta > 0$ . Retrouver $E(X) = \alpha/\theta$ et $\mathrm{Var}(X) = \alpha/\theta^2$ en utilisant la fonction gamma.

Application autonome 1

Soit $X \sim \mathcal{N}(m, \sigma^2)$ . Retrouver $E(X) = m$ et $\mathrm{Var}(X) = \sigma^2$ par substitution.

Crée ton compte gratuit pour accéder à la fiche et aux exercices