Comment trouver la densité d'une v.a. transformée $Y = g(X)$ (méthode de la fonction muette / changement de variables) ? | MetMat

Comment trouver la densité d'une v.a. transformée $Y = g(X)$ (méthode de la fonction muette / changement de variables) ?

En utilisant la méthode de la fonction muette pour identifier $f_Y$

Trouver explicitement la densité $f_Y$ de $Y = g(X)$ lorsque $X$ admet une densité $f_X$, en utilisant la méthode de la fonction muette et les changements de variables.

L'objectif

Trouver explicitement la densité $f_Y$ de $Y = g(X)$ lorsque $X$ admet une densité $f_X$ , en utilisant la méthode de la fonction muette et les changements de variables.

Le principe

Pour identifier la loi de $Y = g(X)$ , on utilise la Prop. 4.11 : si on peut écrire $E[h(Y)] = \int h(y) f(y)\,dy$ pour toute $h$ continue bornée, alors $f_Y = f$ . La clé est de réécrire $\int h(g(x)) f_X(x)\,dx$ via un changement de variables $y = g(x)$ , en découpant $\mathbb{R}$ en intervalles où $g$ est un difféomorphisme (Prop. 4.14).

La méthode

1
Écrire $E[h(Y)] = E[h(g(X))] = \int_{\mathbb{R}} h(g(x)) f_X(x)\,dx$ par la propriété de transfert.
2
Découper le support de $f_X$ en intervalles $I_1, I_2, \ldots$ sur lesquels $g$ est un $C^1$ -difféomorphisme sur $J_k = g(I_k)$ : $E[h(Y)] = \sum_k \int_{I_k} h(g(x)) f_X(x)\,dx$ .
3
Sur chaque $I_k$ , effectuer le changement de variables $y = g(x)$ , $x = g^{-1}(y)$ , $dx = |(g^{-1})'(y)|\,dy$ : $\int_{I_k} h(g(x)) f_X(x)\,dx = \int_{J_k} h(y) f_X(g^{-1}(y)) |(g^{-1})'(y)|\,dy$ .
4
Rassembler les contributions : $E[h(Y)] = \int_{\mathbb{R}} h(y) \left(\sum_k f_X(g^{-1}(y)) |(g^{-1})'(y)| \mathbf{1}_{J_k}(y)\right) dy$ .
5
Identifier $f_Y(y) = \sum_k f_X(g^{-1}(y)) |(g^{-1})'(y)| \mathbf{1}_{J_k}(y)$ et vérifier que $\int f_Y(y)\,dy = 1$ .

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Application guidée 1

Soit $X$ de densité $f_X$ et $Y = aX + b$ avec $a \neq 0$ . Trouver la densité $f_Y$ .

Application guidée 2

Soit $X$ de densité $f_X$ et $Y = X^2$ . Trouver la densité $f_Y$ sur $(0, +\infty)$ .

Application autonome 1

Soit $X \sim \mathcal{N}(0,1)$ . Montrer que $Y = X^2$ suit une loi $\Gamma(1/2, 1/2)$ , dite $\chi^2(1)$ .

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En utilisant la méthode de la fonction muette pour identifier fYf_YfY​

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En utilisant la méthode de la fonction muette pour identifier $f_Y$