Comment calculer $E[h(X)]$ via la propriété de transfert (v.a. à densité) ? | MetMat

Comment calculer $E[h(X)]$ via la propriété de transfert (v.a. à densité) ?

En intégrant $h(x) f_X(x)$ par rapport à $x$ grâce à la propriété de transfert

Calculer $E[h(X)]$ pour $h : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ mesurable et $X$ à densité $f_X$ , en utilisant la formule $E[h(X)] = \int_{\mathbb{R}} h(x) f_X(x)\,dx$ (Prop. 4.11).

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $X \sim \mathcal{E}(\lambda)$ de densité $f_X(x) = \lambda e^{-\lambda x} \mathbf{1}_{x\geq 0}$ . Calculer $E(X^2)$ .

L'objectif

Calculer $E[h(X)]$ pour $h : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ mesurable et $X$ à densité $f_X$ , en utilisant la formule $E[h(X)] = \int_{\mathbb{R}} h(x) f_X(x)\,dx$ (Prop. 4.11).

Le principe

La propriété de transfert (Prop. 4.11) affirme que si $X$ a pour loi $P_X$ et $h$ est mesurable, alors $E[h(X)] = \int_{\mathbb{R}} h(x) P_X(dx)$ . Si $P_X$ est à densité $f_X$ , cela devient $E[h(X)] = \int_{\mathbb{R}} h(x) f_X(x)\,dx$ . On n'a pas besoin de connaître la loi de $h(X)$ .

La méthode

1
Identifier la densité $f_X$ de $X$ et la fonction $h$ dont on veut calculer $E[h(X)]$ .
2
Vérifier l'intégrabilité : $h$ est $P_X$ -intégrable si $\int_{\mathbb{R}} |h(x)| f_X(x)\,dx < \infty$ , c'est-à-dire si $h(X) \in L^1$ .
3
Écrire la formule de transfert : $E[h(X)] = \int_{\mathbb{R}} h(x) f_X(x)\,dx$ .
4
Calculer l'intégrale (par parties, substitution, formule close, etc.) en tenant compte du support de $f_X$ .
5
Vérifier la cohérence du résultat (unités, ordre de grandeur, cas particuliers $h(x) = x$ pour retrouver $E(X)$ , $h(x) = x^2$ pour $E(X^2)$ ).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $X \sim \mathcal{E}(\lambda)$ de densité $f_X(x) = \lambda e^{-\lambda x} \mathbf{1}_{x\geq 0}$ . Calculer $E(X^2)$ .

Étape 1 —

Identifier la densité

f_X

X

et la fonction

h

dont on veut calculer

E[h(X)]

$f_X(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ sur $[0,+\infty)$ , et $h(x) = x^2$ .

Étape 2 —

Vérifier l'intégrabilité :

h

est

P_X

-intégrable si

\int_{\mathbb{R}} |h(x)| f_X(x)\,dx < \infty

, c'est-à-dire si

h(X) \in L^1

$\int_0^{+\infty} x^2 \lambda e^{-\lambda x}\,dx$ : on vérifie la convergence en $+\infty$ (termes en $e^{-\lambda x}$ dominent), donc $h(X) \in L^1$ .

Étape 3 —

Écrire la formule de transfert :

E[h(X)] = \int_{\mathbb{R}} h(x) f_X(x)\,dx

$E(X^2) = \int_0^{+\infty} x^2 \lambda e^{-\lambda x}\,dx$ .

Étape 4 —

Calculer l'intégrale (par parties, substitution, formule close, etc.) en tenant compte du support de

f_X

Deux intégrations par parties : $\int_0^{+\infty} x^2 \lambda e^{-\lambda x}\,dx = \frac{2}{\lambda^2}$ .

Étape 5 —

Vérifier la cohérence du résultat (unités, ordre de grandeur, cas particuliers

h(x) = x

pour retrouver

E(X)

h(x) = x^2

pour

E(X^2)

Cohérence : $\mathrm{Var}(X) = E(X^2) - E(X)^2 = \frac{2}{\lambda^2} - \frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{\lambda^2}$ , conforme à la formule connue.

$E(X^2) = \dfrac{2}{\lambda^2}$

Application guidée

Soit $X \sim \mathcal{U}([0,1])$ . Calculer $E(e^X)$ .

Application autonome 1

Soit $X \sim \mathcal{N}(0,1)$ . Calculer $E(|X|)$ .

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En intégrant h(x)fX(x)h(x) f_X(x)h(x)fX​(x) par rapport à xxx grâce à la propriété de transfert

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En intégrant $h(x) f_X(x)$ par rapport à $x$ grâce à la propriété de transfert