En appliquant le TCM à une suite croissante de v.a. positives

Calculer l'espérance d'une limite $X = \lim_{n\to\infty} X_n$ en utilisant le TCM, qui autorise l'échange $E(\lim X_n) = \lim E(X_n)$ sous hypothèse de croissance.

L'objectif

Calculer l'espérance d'une limite $X = \lim_{n\to\infty} X_n$ en utilisant le TCM, qui autorise l'échange $E(\lim X_n) = \lim E(X_n)$ sous hypothèse de croissance.

Le principe

Le théorème de convergence monotone (Th. 4.4) affirme que si $(X_n)_{n \geq 1} \subset L^0_+$ est croissante p.s., alors $E(\lim_{\uparrow} X_n) = \lim_{\uparrow} E(X_n)$ dans $[0, +\infty]$ . On l'applique en trois temps : identifier la suite croissante, calculer les espérances intermédiaires, puis passer à la limite.

La méthode

1
Identifier la suite $(X_n)_{n \geq 1}$ et vérifier que chaque $X_n \in L^0_+$ (positives, mesurables).
2
Vérifier la croissance p.s. : $X_n \leq X_{n+1}$ p.s. pour tout $n$ . Si la croissance est sur $\Omega$ entier, l'hypothèse est satisfaite directement.
3
Calculer ou exprimer $E(X_n)$ pour chaque $n$ fixé (par intégrale, formule close, etc.).
4
Identifier la limite : poser $X = \lim_{n\to\infty} X_n$ (croissante, donc la limite existe dans $[0,+\infty]$ p.s.).
5
Conclure par le TCM : $E(X) = E(\lim_{\uparrow} X_n) = \lim_{n\to\infty} E(X_n)$ , en calculant cette dernière limite.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $X \in L^0_+$ et $X_n = \alpha_n(X) = \min(n, 2^{-n}\lfloor 2^n X\rfloor)$ . Montrer que $E(X) = \lim_{n\to\infty} E(X_n)$ .

Étape 1 —

Identifier la suite

(X_n)_{n \geq 1}

et vérifier que chaque

X_n \in L^0_+

(positives, mesurables).

Chaque $X_n = \alpha_n(X)$ est une v.a. étagée positive, donc $X_n \in \mathcal{E}_+ \subset L^0_+$ .

Étape 2 —

Vérifier la croissance p.s. :

X_n \leq X_{n+1}

p.s. pour tout

n

. Si la croissance est sur

\Omega

entier, l'hypothèse est satisfaite directement.

La suite $(X_n)$ est croissante : pour tout $x \geq 0$ , $\alpha_n(x) \leq \alpha_{n+1}(x)$ (découpage plus fin), donc $X_n \leq X_{n+1}$ sur $\Omega$ .

Étape 3 —

Calculer ou exprimer

E(X_n)

pour chaque

n

fixé (par intégrale, formule close, etc.).

$E(X_n) = \sum_{k=0}^{n2^n - 1} k2^{-n} P(k2^{-n} \leq X < (k+1)2^{-n}) + n\,P(X \geq n)$ , somme finie.

Étape 4 —

Identifier la limite : poser

X = \lim_{n\to\infty} X_n

(croissante, donc la limite existe dans

[0,+\infty]

p.s.).

$\lim_{n\to\infty} X_n = X$ p.s. (par construction de $\alpha_n$ , l'approximation est à $2^{-n}$ près hors de $\{X \geq n\}$ ).

Étape 5 —

Conclure par le TCM :

E(X) = E(\lim_{\uparrow} X_n) = \lim_{n\to\infty} E(X_n)

, en calculant cette dernière limite.

Par le TCM : $E(X) = E(\lim_{\uparrow} X_n) = \lim_{n\to\infty} E(X_n)$ . Ceci fournit la définition équivalente de l'espérance (Rem. 4.6).

$E(X) = \lim_{n\to\infty} E(\alpha_n(X))$

Application guidée

Soit $X \in L^0_+$ une v.a. positive. En posant $X_n = X \mathbf{1}_{X \leq n}$ , calculer $E(X)$ comme limite.

Application autonome 1

Montrer par le TCM que $E(X_1 + X_2) = E(X_1) + E(X_2)$ pour $X_1, X_2 \in L^0_+$ .

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