Comment appliquer l'inégalité de Jensen pour une fonction convexe ? | MetMat

Comment appliquer l'inégalité de Jensen pour une fonction convexe ?

En identifiant la convexité de $f$ et en appliquant $E[f(X)] \geq f(E(X))$

Établir des inégalités sur des espérances de fonctions de v.a. en utilisant la convexité ou la concavité de $f$ , et identifier les cas d'égalité.

L'objectif

Établir des inégalités sur des espérances de fonctions de v.a. en utilisant la convexité ou la concavité de $f$ , et identifier les cas d'égalité.

Le principe

Le théorème de Jensen (Th. 4.29) repose sur la propriété des fonctions convexes : $f$ est convexe ssi pour tout $a \in \mathbb{R}$ , il existe $\lambda_a \in \mathbb{R}$ tel que $f(x) \geq f(a) + \lambda_a(x-a)$ pour tout $x$ . En fixant $a = E(X)$ et en prenant l'espérance, on obtient $E[f(X)] \geq f(E(X))$ . L'égalité a lieu ssi $X$ est constante p.s. ou $f$ est affine sur le support de $X$ .

La méthode

1
Identifier la fonction $f$ et vérifier sa convexité : $f''(x) \geq 0$ pour tout $x$ (si $f$ est deux fois dérivable), ou vérifier directement $f(\lambda x + (1-\lambda)y) \leq \lambda f(x) + (1-\lambda)f(y)$ .
2
Vérifier les hypothèses : $X \in L^1$ (i.e. $E(|X|) < \infty$ ) et $f(X)$ est intégrable (ou au moins $f(X)^- = \max(-f(X),0) \in L^1$ ).
3
Appliquer Jensen : $E[f(X)] \geq f(E(X))$ (inégalité dans $\mathbb{R} \cup \{+\infty\}$ si $f$ convexe) ; ou $E[f(X)] \leq f(E(X))$ si $f$ est concave.
4
Calculer ou estimer les deux membres : $E[f(X)]$ (par transfert si possible) et $f(E(X))$ (en substituant $E(X)$ dans $f$ ).
5
Analyser les cas d'égalité (Th. 4.29(iii)) : égalité ssi $X$ est constante p.s. ou $f$ est affine sur l'intervalle minimal $I$ tel que $P(X \in I) = 1$ .

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Exercice d'exemple

Soit $X \in L^1$ et $p \geq 1$ . Montrer que $E(|X|^p) \geq E(|X|)^p$ (inégalité entre norme $L^p$ et norme $L^1$ ).

Étape 1 —

Identifier la fonction

f

et vérifier sa convexité :

f''(x) \geq 0

pour tout

x

(si

f

est deux fois dérivable), ou vérifier directement

f(\lambda x + (1-\lambda)y) \leq \lambda f(x) + (1-\lambda)f(y)

On pose $f(t) = |t|^p$ pour $p \geq 1$ . On a $f''(t) = p(p-1)|t|^{p-2} \geq 0$ pour $p \geq 1$ , donc $f$ est convexe.

Étape 2 —

Vérifier les hypothèses :

X \in L^1

(i.e.

E(|X|) < \infty

) et

f(X)

est intégrable (ou au moins

f(X)^- = \max(-f(X),0) \in L^1

On applique Jensen à $f$ et à $|X|$ (qui est intégrable par hypothèse $X \in L^1$ ) : $E[f(|X|)] \geq f(E(|X|))$ .

Étape 3 —

Appliquer Jensen :

E[f(X)] \geq f(E(X))

(inégalité dans

\mathbb{R} \cup \{+\infty\}

f

convexe) ; ou

E[f(X)] \leq f(E(X))

f

est concave.

$E[f(|X|)] = E(|X|^p)$ et $f(E(|X|)) = E(|X|)^p$ .

Étape 4 —

Calculer ou estimer les deux membres :

E[f(X)]

(par transfert si possible) et

f(E(X))

(en substituant

E(X)

dans

f

Conclusion : $E(|X|^p) \geq E(|X|)^p$ , soit $\|X\|_{L^p} \geq \|X\|_{L^1}$ (après $p$ -ième racine).

Étape 5 —

Analyser les cas d'égalité (Th. 4.29(iii)) : égalité ssi

X

est constante p.s. ou

f

est affine sur l'intervalle minimal

I

tel que

P(X \in I) = 1

Cas d'égalité : $|X|$ est constante p.s. (i.e. $|X| = c$ p.s. pour une constante $c \geq 0$ ).

$E(|X|^p) \geq E(|X|)^p$ pour tout $p \geq 1$ et $X \in L^1$

Application guidée

Soit $X$ une v.a. strictement positive et intégrable. Montrer que $E(1/X) \cdot E(X) \geq 1$ par Jensen.

Application autonome 1

Soit $X$ une v.a. réelle intégrable et $\lambda \in \mathbb{R}$ . Montrer que $E(e^{\lambda X}) \geq e^{\lambda E(X)}$ (inégalité utilisée pour les inégalités de Chernoff).

Application autonome 2

Un investisseur maximise $E[u(R)]$ avec $u$ concave (aversion au risque). Soit $X$ un actif risqué d'espérance $m$ et $m$ certain. Montrer que le placement sûr est préféré.

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En identifiant la convexité de fff et en appliquant E[f(X)]≥f(E(X))E[f(X)] \geq f(E(X))E[f(X)]≥f(E(X))

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En identifiant la convexité de $f$ et en appliquant $E[f(X)] \geq f(E(X))$