Comment reconnaître et utiliser les lois à densité usuelles (uniforme, exponentielle, gamma, normale) ? | MetMat

Comment reconnaître et utiliser les lois à densité usuelles (uniforme, exponentielle, gamma, normale) ?

En comparant densité ou fonction de répartition aux formes canoniques des lois usuelles

Reconnaître parmi les grandes familles de lois continues à densité, et utiliser les propriétés de la loi identifiée pour des calculs.

L'objectif

Reconnaître parmi les grandes familles de lois continues à densité, et utiliser les propriétés de la loi identifiée pour des calculs.

Le principe

Chaque loi usuelle a une densité caractéristique. $\mathcal{U}(a,b)$ : constante sur $[a,b]$ . $\mathcal{E}(\lambda)$ : $\lambda e^{-\lambda x}$ sur $\mathbb{R}_+$ . $\Gamma(\alpha,\theta)$ : $x^{\alpha-1}e^{-\theta x}$ normalisée sur $\mathbb{R}_+$ . $\mathcal{N}(m,\sigma^2)$ : cloche gaussienne. On identifie les paramètres par identification des formes.

La méthode

1
Lire la forme de la densité $f$ : repérer le support (borné ou non), la présence d'une exponentielle, d'un terme polynomial, d'une cloche gaussienne.
2
Comparer au catalogue : $\mathcal{U}(a,b)$ si $f = \frac{1}{b-a}\mathbf{1}_{[a,b]}$ ; $\mathcal{E}(\lambda)$ si $f = \lambda e^{-\lambda x}\mathbf{1}_{\mathbb{R}_+}$ ; $\Gamma(\alpha,\theta)$ si $f \propto x^{\alpha-1}e^{-\theta x}\mathbf{1}_{\mathbb{R}_+}$ ; $\mathcal{N}(m,\sigma^2)$ si $f \propto \exp(-(x-m)^2/(2\sigma^2))$ .
3
Identifier les paramètres en comparant terme à terme la densité donnée à la forme canonique.
4
Utiliser les propriétés de la loi identifiée : sa fonction de répartition (souvent explicite pour $\mathcal{U}$ et $\mathcal{E}$ , via table pour $\mathcal{N}$ ), ses propriétés de stabilité, etc.
5
Calculer les probabilités demandées à l'aide des formules spécifiques à la loi identifiée.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $f(x) = 3x^2 \mathbf{1}_{[0,1]}(x)$ . Identifier la loi et calculer $P(X > 0.5)$ .

Étape 1 —

Lire la forme de la densité

f

: repérer le support (borné ou non), la présence d'une exponentielle, d'un terme polynomial, d'une cloche gaussienne.

$f$ est positive sur $[0,1]$ , nulle ailleurs. Forme $x^{\alpha-1}$ avec $\alpha-1 = 2$ , soit $\alpha = 3$ . Pas de décroissance exponentielle.

Étape 2 —

Comparer au catalogue :

\mathcal{U}(a,b)

f = \frac{1}{b-a}\mathbf{1}_{[a,b]}

;

\mathcal{E}(\lambda)

f = \lambda e^{-\lambda x}\mathbf{1}_{\mathbb{R}_+}

;

\Gamma(\alpha,\theta)

f \propto x^{\alpha-1}e^{-\theta x}\mathbf{1}_{\mathbb{R}_+}

;

\mathcal{N}(m,\sigma^2)

f \propto \exp(-(x-m)^2/(2\sigma^2))

Ce n'est pas une exponentielle ni une gaussienne. C'est la densité bêta $\beta(3,1)$ , ou encore $\Gamma(3,\infty)$ ... mais sur $[0,1]$ avec $f = 3x^2$ : c'est la loi puissance d'exposant 3.

Étape 3 —

Identifier les paramètres en comparant terme à terme la densité donnée à la forme canonique.

Vérification : $\int_0^1 3x^2\,dx = [x^3]_0^1 = 1$ . C'est bien une densité. Les paramètres sont ceux d'une loi bêta $\mathcal{B}(3,1)$ .

Étape 4 —

Utiliser les propriétés de la loi identifiée : sa fonction de répartition (souvent explicite pour

\mathcal{U}

\mathcal{E}

, via table pour

\mathcal{N}

), ses propriétés de stabilité, etc.

$F_X(x) = \int_0^x 3t^2\,dt = x^3$ pour $x \in [0,1]$ .

Étape 5 —

Calculer les probabilités demandées à l'aide des formules spécifiques à la loi identifiée.

$P(X > 0.5) = 1 - F_X(0.5) = 1 - (0.5)^3 = 1 - 0.125 = 0.875$ .

$P(X > 0.5) = 1 - (0.5)^3 = \frac{7}{8}$ .

Application guidée

Soit $X \sim \mathcal{N}(3, 4)$ . Calculer $P(1 \leq X \leq 5)$ en utilisant la table de $\Phi$ .

Application autonome 1

Soit $X \sim \Gamma(2, 1)$ (loi gamma de paramètres $\alpha = 2$ , $\theta = 1$ ). Identifier la densité et calculer $P(X > 2)$ .

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