Comment construire la mesure de Lebesgue et la probabilité uniforme sur $[a,b]$ ? | MetMat

Comment construire la mesure de Lebesgue et la probabilité uniforme sur $[a,b]$ ?

En définissant la mesure sur une algèbre et en appliquant le théorème de Carathéodory

Construire rigoureusement la mesure de Lebesgue (probabilité uniforme) sur $([0,1], \mathcal{B}_{[0,1]})$.

L'objectif

Construire rigoureusement la mesure de Lebesgue (probabilité uniforme) sur $([0,1], \mathcal{B}_{[0,1]})$ .

Le principe

On définit d'abord $\lambda_0$ sur l'algèbre $\mathcal{A}_0$ des réunions finies d'intervalles $]a_i, b_i] \subset ]0,1]$ comme la somme des longueurs. Le théorème de Carathéodory garantit l'existence et l'unicité d'une probabilité $\lambda$ sur $\mathcal{B}_{[0,1]} = \sigma(\mathcal{A}_0)$ prolongeant $\lambda_0$ .

La méthode

1
Définir l'algèbre $\mathcal{A}_0$ comme l'ensemble des parties de $]0,1]$ de la forme $\bigcup_{i=1}^n ]a_i, b_i]$ avec $0 \leq a_1 \leq b_1 \leq \cdots \leq a_n \leq b_n \leq 1$ .
2
Poser $\lambda_0(A) = \sum_{i=1}^n (b_i - a_i)$ pour tout $A \in \mathcal{A}_0$ de la forme ci-dessus. Vérifier que c'est bien défini (indépendant de la représentation).
3
Vérifier que $\lambda_0$ est $\sigma$ -additive sur $\mathcal{A}_0$ et que $\lambda_0(]0,1]) = 1$ (masse totale 1).
4
Appliquer le théorème de Carathéodory : il existe une unique probabilité $\lambda$ sur $\mathcal{B}_{[0,1]} = \sigma(\mathcal{A}_0)$ telle que $\lambda = \lambda_0$ sur $\mathcal{A}_0$ .
5
Pour la loi uniforme sur $[a,b]$ (avec $a < b$ ), définir $P_{[a,b]}(A) = \lambda(\frac{A-a}{b-a})$ pour tout borélien $A \subset [a,b]$ . La probabilité est proportionnelle à la longueur.

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Application guidée 1

Calculer $\lambda([0.2, 0.5])$ et $\lambda(\{0.3\})$ pour la mesure de Lebesgue sur $[0,1]$ .

Application guidée 2

Donner la probabilité uniforme sur $[2, 5]$ de l'événement $\{X \in [3, 4.5]\}$ .

Application autonome 1

Expliquer pourquoi on ne peut pas étendre la mesure de Lebesgue à $\mathcal{P}([0,1])$ .

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