Comment simuler une variable aléatoire par inversion de la fonction de répartition ? | MetMat

Comment simuler une variable aléatoire par inversion de la fonction de répartition ?

En calculant l'inverse généralisé $G(u) = \inf\{x : F(x) \geq u\}$ et en posant $X = G(U)$

Simuler une v.a. de loi quelconque à partir d'une variable uniforme sur $[0,1]$ .

L'objectif

Simuler une v.a. de loi quelconque à partir d'une variable uniforme sur $[0,1]$ .

Le principe

D'après la Proposition 3.36 (Von Neumann, 1947), si $U \sim \mathcal{U}([0,1])$ et $G(u) = \inf\{x \in \mathbb{R} : F(x) \geq u\}$ est l'inverse généralisé de $F$ , alors $X = G(U)$ admet $F$ pour fonction de répartition. La clé est l'équivalence $G(u) \leq x \Leftrightarrow F(x) \geq u$ (pour $F$ croissante et continue à droite).

La méthode

1
Identifier la fonction de répartition $F$ de la loi à simuler.
2
Calculer l'inverse généralisé $G(u) = \inf\{x \in \mathbb{R} : F(x) \geq u\}$ pour $u \in ]0,1[$ . Si $F$ est strictement croissante et continue, $G = F^{-1}$ (inverse usuelle).
3
Vérifier l'équivalence clé : $G(u) \leq x \Leftrightarrow F(x) \geq u$ (pour le cas non-bijectif, utiliser la croissance et la continuité à droite de $F$ ).
4
Poser $X = G(U)$ avec $U \sim \mathcal{U}([0,1])$ . Par l'équivalence du step 3 : $P(X \leq x) = P(G(U) \leq x) = P(F(x) \geq U) = F(x)$ (car $U$ est uniforme).
5
Conclure : $X = G(U)$ admet $F$ pour fonction de répartition. En pratique, tirer $u \sim \mathcal{U}([0,1])$ puis calculer $x = G(u)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

0/3 validés

Exercice d'exemple

Simuler une variable aléatoire exponentielle $X \sim \mathcal{E}(\lambda)$ à partir de $U \sim \mathcal{U}([0,1])$ .

Étape 1 —

Identifier la fonction de répartition

F

de la loi à simuler.

$F(x) = (1 - e^{-\lambda x})\mathbf{1}_{\mathbb{R}_+}(x)$ est la fonction de répartition de $\mathcal{E}(\lambda)$ .

Étape 2 —

Calculer l'inverse généralisé

G(u) = \inf\{x \in \mathbb{R} : F(x) \geq u\}

pour

u \in ]0,1[

. Si

F

est strictement croissante et continue,

G = F^{-1}

(inverse usuelle).

$F$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}_+$ et $F(x) = u \Leftrightarrow 1 - e^{-\lambda x} = u \Leftrightarrow x = -\frac{1}{\lambda}\ln(1-u)$ . Donc $G(u) = F^{-1}(u) = -\frac{1}{\lambda}\ln(1-u)$ .

Étape 3 —

Vérifier l'équivalence clé :

G(u) \leq x \Leftrightarrow F(x) \geq u

(pour le cas non-bijectif, utiliser la croissance et la continuité à droite de

F

Vérification : $G(u) \leq x \Leftrightarrow -\frac{1}{\lambda}\ln(1-u) \leq x \Leftrightarrow \ln(1-u) \geq -\lambda x \Leftrightarrow 1-u \geq e^{-\lambda x} \Leftrightarrow u \leq 1-e^{-\lambda x} = F(x)$ . Cohérent.

Étape 4 —

Poser

X = G(U)

avec

U \sim \mathcal{U}([0,1])

. Par l'équivalence du step 3 :

P(X \leq x) = P(G(U) \leq x) = P(F(x) \geq U) = F(x)

(car

U

est uniforme).

Poser $X = -\frac{1}{\lambda}\ln(1-U)$ . Comme $1-U$ a même loi que $U$ , on peut aussi utiliser $X = -\frac{1}{\lambda}\ln U$ .

Étape 5 —

Conclure :

X = G(U)

admet

F

pour fonction de répartition. En pratique, tirer

u \sim \mathcal{U}([0,1])

puis calculer

x = G(u)

Conclusion : $X = -\frac{1}{\lambda}\ln U$ (ou $-\frac{1}{\lambda}\ln(1-U)$ ) est une v.a. de loi $\mathcal{E}(\lambda)$ lorsque $U \sim \mathcal{U}([0,1])$ .

$X = -\frac{1}{\lambda}\ln U$ avec $U \sim \mathcal{U}([0,1])$ suit la loi $\mathcal{E}(\lambda)$ .

Application guidée

Simuler une v.a. de Bernoulli $X \sim \mathcal{B}(p)$ à partir de $U \sim \mathcal{U}([0,1])$ .

Application autonome 1

Soit $F$ une fonction de répartition quelconque et $U \sim \mathcal{U}([0,1])$ . Montrer que $X = G(U)$ vérifie $F_X = F$ .

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En calculant l'inverse généralisé G(u)=inf⁡{x:F(x)≥u}G(u) = \inf\{x : F(x) \geq u\}G(u)=inf{x:F(x)≥u} et en posant X=G(U)X = G(U)X=G(U)

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En calculant l'inverse généralisé $G(u) = \inf\{x : F(x) \geq u\}$ et en posant $X = G(U)$