En appliquant directement $P(X > t+s \mid X > t) = P(X > s)$

Utiliser la propriété sans mémoire de la loi exponentielle pour simplifier les calculs de probabilités conditionnelles.

L'objectif

Utiliser la propriété sans mémoire de la loi exponentielle pour simplifier les calculs de probabilités conditionnelles.

Le principe

Si $X \sim \mathcal{E}(\lambda)$ , la fonction de survie $G(t) = P(X > t) = e^{-\lambda t}$ vérifie $G(t+s) = G(t)G(s)$ . Cela signifie que $P(X > t+s \mid X > t) = P(X > s)$ : connaissant que $X > t$ , la durée de vie résiduelle suit encore $\mathcal{E}(\lambda)$ . C'est la seule loi continue avec cette propriété (Prop. 3.34).

La méthode

1
Identifier que $X \sim \mathcal{E}(\lambda)$ (ou que $X$ vérifie la propriété sans mémoire, ce qui caractérise la loi exponentielle).
2
Écrire la probabilité conditionnelle sous la forme $P(X > t+s \mid X > t)$ en reconnaissant l'événement conditionné.
3
Appliquer la définition des probabilités conditionnelles : $P(X > t+s \mid X > t) = \frac{P(X > t+s)}{P(X > t)} = \frac{G(t+s)}{G(t)} = \frac{e^{-\lambda(t+s)}}{e^{-\lambda t}} = e^{-\lambda s} = P(X > s)$ .
4
Interpréter : l'instrument (ou la particule, la bactérie...) ne «vieillit» pas — sa durée de vie résiduelle conditionnellement à $X > t$ est encore $\mathcal{E}(\lambda)$ .
5
Conclure le calcul en utilisant la loi de survie $G(s) = e^{-\lambda s}$ ou la fonction de répartition $F(s) = 1 - e^{-\lambda s}$ .

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Application guidée 1

La durée de vie $X$ d'une bactérie suit $\mathcal{E}(1/10)$ (espérance 10h). Sachant qu'elle vit plus de 5h, calculer la probabilité qu'elle vive encore plus de 3h.

Application guidée 2

Montrer que la loi exponentielle est l'unique loi de probabilité continue vérifiant la propriété sans mémoire.

Application autonome 1

Un composant électronique a une durée de vie $X \sim \mathcal{E}(\lambda)$ . On le teste à $t = 100$ h. Sachant qu'il fonctionne encore, quelle est la loi de sa durée de vie résiduelle $Y = X - 100$ ?

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En appliquant directement P(X>t+s∣X>t)=P(X>s)P(X > t+s \mid X > t) = P(X > s)P(X>t+s∣X>t)=P(X>s)

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En appliquant directement $P(X > t+s \mid X > t) = P(X > s)$