En calculant la convolution discrète $P(X+Y=k) = \sum_j P(X=j)P(Y=k-j)$ ou en identifiant $G_{X+Y}(s) = G_X(s)G_Y(s)$

Déterminer la loi de $Z = X+Y$ pour $X$, $Y$ v.a. indépendantes discrètes, par convolution directe ou par la méthode des fonctions génératrices.

L'objectif

Déterminer la loi de $Z = X+Y$ pour $X$ , $Y$ v.a. indépendantes discrètes, par convolution directe ou par la méthode des fonctions génératrices.

Le principe

Si $X \perp Y$ : $P(X+Y=k) = \sum_{j} P(X=j)P(Y=k-j)$ (convolution discrète, Proposition 2.41). Alternativement, $G_{X+Y}(s) = G_X(s) G_Y(s)$ (Proposition 2.43) ; si $G_{X+Y}$ correspond à une loi standard, on identifie directement la loi de $X+Y$ .

La méthode

1
Vérifier que $X$ et $Y$ sont indépendantes. Écrire leurs lois respectives.
2
Méthode convolution : calculer $P(Z=k) = \sum_{j} P(X=j)P(Y=k-j)$ pour chaque valeur $k$ (sommer sur toutes les décompositions $j + (k-j) = k$ ).
3
Méthode génératrice : calculer $G_Z(s) = G_X(s) G_Y(s)$ . Reconnaître la loi standard correspondante si possible (Bernoulli, binomiale, Poisson, géométrique).
4
Conclure sur la loi de $Z=X+Y$ , vérifier que $\sum_k P(Z=k) = 1$ et calculer $E(Z) = E(X)+E(Y)$ , $\mathrm{Var}(Z) = \mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y)$ (par indépendance).

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Application guidée 1

$X \sim \mathcal{B}(n,p)$ et $Y \sim \mathcal{B}(m,p)$ indépendantes. Déterminer la loi de $Z=X+Y$ .

Application guidée 2

$X \sim \mathcal{P}(\theta)$ et $Y \sim \mathcal{P}(\zeta)$ indépendantes. Déterminer la loi de $Z=X+Y$ et vérifier $E(Z)$ .

Application autonome 1

$X$ et $Y$ sont des v.a. indépendantes à valeurs dans $\{0,1,2,\ldots\}$ avec $P(X=k) = P(Y=k) = (1/2)^{k+1}$ pour $k \geq 0$ . Calculer $P(X+Y=n)$ .

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En calculant la convolution discrète P(X+Y=k)=∑jP(X=j)P(Y=k−j)P(X+Y=k) = \sum_j P(X=j)P(Y=k-j)P(X+Y=k)=∑j​P(X=j)P(Y=k−j) ou en identifiant GX+Y(s)=GX(s)GY(s)G_{X+Y}(s) = G_X(s)G_Y(s)GX+Y​(s)=GX​(s)GY​(s)

Évalue la méthode

En calculant la convolution discrète $P(X+Y=k) = \sum_j P(X=j)P(Y=k-j)$ ou en identifiant $G_{X+Y}(s) = G_X(s)G_Y(s)$