En vérifiant que la loi jointe est le produit des marginales : $P(X=x_i, Y=y_j) = P(X=x_i) \cdot P(Y=y_j)$ pour tous $i,j$

Déterminer si deux v.a. discrètes $X$ et $Y$ sont indépendantes en vérifiant la factorisation de la loi jointe.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

$(X,Y)$ de loi jointe : $P(0,0)=0{,}1$ , $P(0,1)=0{,}3$ , $P(1,0)=0{,}2$ , $P(1,1)=0{,}4$ . $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?

L'objectif

Déterminer si deux v.a. discrètes $X$ et $Y$ sont indépendantes en vérifiant la factorisation de la loi jointe.

Le principe

D'après la Proposition 2.36, $X$ et $Y$ sont indépendantes si et seulement si $P(X=x_i, Y=y_j) = P(X=x_i) P(Y=y_j)$ pour tous $x_i \in \mathcal{X}$ et $y_j \in \mathcal{Y}$ . Il suffit de vérifier cette égalité pour toutes les paires (ou de trouver une paire où elle est en défaut pour conclure à la dépendance).

La méthode

1
Calculer les lois marginales $P(X=x_i)$ et $P(Y=y_j)$ depuis la loi jointe (en sommant lignes et colonnes).
2
Pour chaque couple $(x_i, y_j)$ , vérifier si $P(X=x_i, Y=y_j) = P(X=x_i) \cdot P(Y=y_j)$ .
3
Si l'égalité est vérifiée pour TOUS les couples $(x_i, y_j)$ : conclure $X \perp Y$ . Si elle est en défaut pour AU MOINS UN couple : conclure $X \not\perp Y$ .
4
Alternative : vérifier que la loi conditionnelle $P(Y=y_j|X=x_i)$ est égale à la marginale $P(Y=y_j)$ pour tout $x_i$ tel que $P(X=x_i) > 0$ (critère (iii) de la Proposition 2.36).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

$(X,Y)$ de loi jointe : $P(0,0)=0{,}1$ , $P(0,1)=0{,}3$ , $P(1,0)=0{,}2$ , $P(1,1)=0{,}4$ . $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?

Étape 1 —

Calculer les lois marginales

P(X=x_i)

P(Y=y_j)

depuis la loi jointe (en sommant lignes et colonnes).

Marginales : $P(X=0)=0{,}4$ , $P(X=1)=0{,}6$ , $P(Y=0)=0{,}3$ , $P(Y=1)=0{,}7$ .

Étape 2 —

Pour chaque couple

(x_i, y_j)

, vérifier si

P(X=x_i, Y=y_j) = P(X=x_i) \cdot P(Y=y_j)

Vérifier pour $(0,0)$ : $P(X=0)P(Y=0) = 0{,}4 \times 0{,}3 = 0{,}12$ . Mais $P(X=0,Y=0)=0{,}1 \neq 0{,}12$ .

Étape 3 —

Si l'égalité est vérifiée pour TOUS les couples

(x_i, y_j)

: conclure

X \perp Y

. Si elle est en défaut pour AU MOINS UN couple : conclure

X \not\perp Y

L'égalité est en défaut pour $(0,0)$ : $X$ et $Y$ ne sont PAS indépendantes.

Étape 4 —

Alternative : vérifier que la loi conditionnelle

P(Y=y_j|X=x_i)

est égale à la marginale

P(Y=y_j)

pour tout

x_i

tel que

P(X=x_i) > 0

(critère (iii) de la Proposition 2.36).

On peut interpréter : la loi conditionnelle de $Y|X=0$ est $P(Y=0|X=0)=1/4$ , différente de la marginale $P(Y=0)=0{,}3$ .

$X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes.

Application guidée

$(X,Y)$ de loi jointe $P(X=i,Y=j) = 2^{-(i+j)}$ pour $i,j \geq 1$ . Vérifier l'indépendance.

Application autonome 1

$(X,Y)$ prend les valeurs $(1,1)$ , $(-1,-1)$ avec prob. $p/2$ et $(1,-1)$ , $(-1,1)$ avec prob. $(1-p)/2$ . Sont-elles indépendantes ?

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En vérifiant que la loi jointe est le produit des marginales : P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi)⋅P(Y=yj)P(X=x_i, Y=y_j) = P(X=x_i) \cdot P(Y=y_j)P(X=xi​,Y=yj​)=P(X=xi​)⋅P(Y=yj​) pour tous i,ji,ji,j

Pour comprendre, fais des exercices !

En vérifiant que la loi jointe est le produit des marginales : $P(X=x_i, Y=y_j) = P(X=x_i) \cdot P(Y=y_j)$ pour tous $i,j$