En sommant la loi jointe sur toutes les valeurs de l'autre variable : $P(X=x_i) = \sum_{y_j} P(X=x_i, Y=y_j)$

Retrouver les lois marginales $P_X$ et $P_Y$ à partir de la loi jointe $P_Z$ du couple $(X,Y)$.

L'objectif

Retrouver les lois marginales $P_X$ et $P_Y$ à partir de la loi jointe $P_Z$ du couple $(X,Y)$ .

Le principe

Par $\sigma$ -additivité : $P(X=x_i) = \sum_{y_j \in \mathcal{Y}} P(X=x_i, Y=y_j)$ et $P(Y=y_j) = \sum_{x_i \in \mathcal{X}} P(X=x_i, Y=y_j)$ . En tableau, les marginales s'obtiennent en sommant chaque ligne (pour $X$ ) ou chaque colonne (pour $Y$ ).

La méthode

1
Disposer la loi jointe $(p_{ij})$ dans un tableau avec $x_i$ en lignes et $y_j$ en colonnes.
2
Pour la loi marginale de $X$ : sommer chaque ligne, $P(X=x_i) = \sum_{j} p_{ij}$ (somme de la ligne $i$ ).
3
Pour la loi marginale de $Y$ : sommer chaque colonne, $P(Y=y_j) = \sum_{i} p_{ij}$ (somme de la colonne $j$ ).
4
Vérifier la cohérence : $\sum_i P(X=x_i) = 1$ et $\sum_j P(Y=y_j) = 1$ . Ces marginales sont des lois de probabilité bien définies.

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Application guidée 1

La loi jointe de $(X,Y)$ est donnée par : $P(X=0,Y=0)=0{,}1$ , $P(X=0,Y=1)=0{,}3$ , $P(X=1,Y=0)=0{,}2$ , $P(X=1,Y=1)=0{,}4$ . Déterminer les lois marginales.

Application guidée 2

Considérons $(X,Y)$ prenant les valeurs $(1,1)$ et $(-1,-1)$ avec probabilité $p/2$ , et $(1,-1)$ et $(-1,1)$ avec probabilité $(1-p)/2$ . Trouver les marginales.

Application autonome 1

Loi jointe : $P(X=i, Y=j) = c \cdot 2^{-(i+j)}$ pour $i,j \geq 1$ . Déterminer $c$ , puis les marginales.

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En sommant la loi jointe sur toutes les valeurs de l'autre variable : P(X=xi)=∑yjP(X=xi,Y=yj)P(X=x_i) = \sum_{y_j} P(X=x_i, Y=y_j)P(X=xi​)=∑yj​​P(X=xi​,Y=yj​)

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En sommant la loi jointe sur toutes les valeurs de l'autre variable : $P(X=x_i) = \sum_{y_j} P(X=x_i, Y=y_j)$