Comment calculer l'espérance et la variance d'une v.a. entière via la fonction génératrice ? | MetMat

Comment calculer l'espérance et la variance d'une v.a. entière via la fonction génératrice ?

En calculant $G_X(s) = E(s^X)$ , en la dérivant et en évaluant $G_X'(1)$ pour $E(X)$ et $G_X''(1) + G_X'(1) - [G_X'(1)]^2$ pour $\mathrm{Var}(X)$

Calculer l'espérance et la variance d'une v.a. entière en passant par la fonction génératrice, souvent plus simple qu'un calcul direct de séries.

L'objectif

Calculer l'espérance et la variance d'une v.a. entière en passant par la fonction génératrice, souvent plus simple qu'un calcul direct de séries.

Le principe

Pour $X$ entière ( $X \in \mathbb{N}$ ), $G_X(s) = E(s^X) = \sum_{n=0}^{\infty} p_n s^n$ est indéfiniment dérivable sur $[0,1[$ . On a $E(X) = G_X'(1)$ et $\mathrm{Var}(X) = G_X''(1) - [G_X'(1)]^2 + G_X'(1)$ (car $\mathrm{Var}(X) = E(X(X-1)) + E(X) - E(X)^2 = G_X''(1) + G_X'(1) - [G_X'(1)]^2$ ).

La méthode

1
Écrire la fonction génératrice $G_X(s) = \sum_{n=0}^{\infty} p_n s^n$ à partir de la loi de $X$ , ou la reconnaître parmi les formes connues ( $G_{\mathcal{B}(p)}$ , $G_{\mathcal{B}(n,p)}$ , $G_{\mathcal{P}(\theta)}$ , $G_{\mathcal{G}(p)}$ ).
2
Calculer $G_X'(s)$ (dérivée terme à terme si la série converge, ou en dérivant la forme fermée).
3
Évaluer en $s=1$ (limite gauche si nécessaire) : $E(X) = G_X'(1)$ .
4
Calculer $G_X''(s)$ puis $G_X''(1) = E(X(X-1))$ . En déduire $\mathrm{Var}(X) = G_X''(1) + G_X'(1) - [G_X'(1)]^2$ .

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Application guidée 1

Retrouver $E(X)$ et $\mathrm{Var}(X)$ pour $X \sim \mathcal{P}(\theta)$ via sa fonction génératrice.

Application guidée 2

Retrouver $E(X)$ et $\mathrm{Var}(X)$ pour $X \sim \mathcal{B}(n,p)$ via $G_X(s) = (1-p+ps)^n$ .

Application autonome 1

Soit $N$ le nombre de clients d'un bureau de poste (loi $\mathcal{P}(\lambda)$ ) et $X_i \sim \mathcal{B}(p)$ i.i.d. indép. de $N$ (indicatrice femme). $Y = \sum_{i=1}^N X_i$ . Calculer $E(Y)$ via $G_Y$ .

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En calculant GX(s)=E(sX)G_X(s) = E(s^X)GX​(s)=E(sX), en la dérivant et en évaluant GX′(1)G_X'(1)GX′​(1) pour E(X)E(X)E(X) et GX′′(1)+GX′(1)−[GX′(1)]2G_X''(1) + G_X'(1) - [G_X'(1)]^2GX′′​(1)+GX′​(1)−[GX′​(1)]2 pour Var(X)\mathrm{Var}(X)Var(X)

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En calculant $G_X(s) = E(s^X)$ , en la dérivant et en évaluant $G_X'(1)$ pour $E(X)$ et $G_X''(1) + G_X'(1) - [G_X'(1)]^2$ pour $\mathrm{Var}(X)$