Comment reconnaître et utiliser la loi de Poisson (et l'approximation binomiale→Poisson) ? | MetMat

Comment reconnaître et utiliser la loi de Poisson (et l'approximation binomiale→Poisson) ?

En identifiant le paramètre $\theta$ (ou la limite $np \to \theta$ ) et en appliquant $E(X)=\mathrm{Var}(X)=\theta$

Identifier la loi de Poisson dans un contexte d'événements rares ou de comptage, et savoir l'utiliser directement ou comme approximation de la binomiale.

L'objectif

Identifier la loi de Poisson dans un contexte d'événements rares ou de comptage, et savoir l'utiliser directement ou comme approximation de la binomiale.

Le principe

$X \sim \mathcal{P}(\theta)$ si $P(X=k)=e^{-\theta}\theta^k/k!$ pour $k \in \mathbb{N}$ , avec $\theta > 0$ . On a $E(X)=\mathrm{Var}(X)=\theta$ et $G_X(s)=e^{\theta(s-1)}$ . L'approximation : si $X \sim \mathcal{B}(n,p)$ avec $n$ grand, $p$ petit et $np = \theta$ , alors $P(X=k) \approx e^{-\theta}\theta^k/k!$ .

La méthode

1
Identifier le contexte : comptage d'événements rares (nombre d'occurrences dans un grand nombre d'essais indépendants de faible probabilité). Déterminer $\theta = E(X)$ (intensité moyenne).
2
Conclure $X \sim \mathcal{P}(\theta)$ . Écrire la loi : $P(X=k) = e^{-\theta}\theta^k/k!$ pour $k \in \mathbb{N}$ .
3
Appliquer les formules : $E(X) = \theta$ , $\mathrm{Var}(X) = \theta$ , $G_X(s) = e^{\theta(s-1)}$ . Remarquer que $E(X)=\mathrm{Var}(X)$ est un critère distinctif de Poisson.
4
Pour l'approximation binomiale→Poisson : si $X \sim \mathcal{B}(n,p)$ avec $n$ grand, $p=\theta/n$ petit, remplacer par $X \approx \mathcal{P}(\theta)$ pour simplifier les calculs.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Le nombre d'erreurs $Y$ par page d'un livre suit une loi de Poisson de paramètre $1/2$ . Calculer $P(Y \geq 1)$ .

Étape 1 —

Identifier le contexte : comptage d'événements rares (nombre d'occurrences dans un grand nombre d'essais indépendants de faible probabilité). Déterminer

\theta = E(X)

(intensité moyenne).

$Y$ compte les erreurs par page, phénomène rare. $\theta = 1/2$ .

Étape 2 —

Conclure

X \sim \mathcal{P}(\theta)

. Écrire la loi :

P(X=k) = e^{-\theta}\theta^k/k!

pour

k \in \mathbb{N}

$Y \sim \mathcal{P}(1/2)$ . $P(Y=k) = e^{-1/2}(1/2)^k/k!$ .

Étape 3 —

Appliquer les formules :

E(X) = \theta

\mathrm{Var}(X) = \theta

G_X(s) = e^{\theta(s-1)}

. Remarquer que

E(X)=\mathrm{Var}(X)

est un critère distinctif de Poisson.

$E(Y) = \mathrm{Var}(Y) = 1/2$ .

Étape 4 —

Pour l'approximation binomiale→Poisson : si

X \sim \mathcal{B}(n,p)

avec

n

grand,

p=\theta/n

petit, remplacer par

X \approx \mathcal{P}(\theta)

pour simplifier les calculs.

$P(Y \geq 1) = 1 - P(Y=0) = 1 - e^{-1/2} \approx 1 - 0{,}607 \approx 0{,}393$ .

$P(Y \geq 1) = 1 - e^{-1/2} \approx 0{,}39$ .

Application guidée

Approximer par Poisson la loi $\mathcal{B}(86, 0{,}01)$ des médailles françaises aux JO. Comparer $P(X=k)$ pour $k=0,1,2,3$ .

Application autonome 1

Montrer que la somme de deux v.a. de Poisson indépendantes $X \sim \mathcal{P}(\theta)$ et $Y \sim \mathcal{P}(\zeta)$ suit $\mathcal{P}(\theta+\zeta)$ .

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En identifiant le paramètre θ\thetaθ (ou la limite np→θnp \to \thetanp→θ) et en appliquant E(X)=Var(X)=θE(X)=\mathrm{Var}(X)=\thetaE(X)=Var(X)=θ

Pour comprendre, fais des exercices !

En identifiant le paramètre $\theta$ (ou la limite $np \to \theta$ ) et en appliquant $E(X)=\mathrm{Var}(X)=\theta$