En identifiant la v.a. comme rang du premier succès dans des épreuves de Bernoulli indépendantes, puis en appliquant $E(X)=1/p$

Identifier la loi géométrique dans une situation de temps d'attente et utiliser ses formules sans recalculer depuis la définition.

L'objectif

Identifier la loi géométrique dans une situation de temps d'attente et utiliser ses formules sans recalculer depuis la définition.

Le principe

$X \sim \mathcal{G}(p)$ si $X$ est le rang du premier succès dans des épreuves de Bernoulli $(p)$ indépendantes. La loi est $P(X=k) = p(1-p)^{k-1}$ pour $k \in \mathbb{N}^*$ . On a $E(X)=1/p$ , $\mathrm{Var}(X)=(1-p)/p^2$ , $G_X(s)=ps/(1-(1-p)s)$ pour $|s| < 1/(1-p)$ .

La méthode

1
Vérifier les conditions : suite d'épreuves de Bernoulli $(p)$ indépendantes, $X$ = rang (numéro) de la première réussite, $X \in \mathbb{N}^*$ .
2
Conclure $X \sim \mathcal{G}(p)$ . Écrire la loi : $P(X=k) = p(1-p)^{k-1}$ pour $k \geq 1$ , et vérifier $\sum_{k=1}^{\infty} p(1-p)^{k-1} = 1$ .
3
Appliquer les formules : $E(X) = 1/p$ , $\mathrm{Var}(X) = (1-p)/p^2$ , $G_X(s) = ps/(1-(1-p)s)$ .
4
Interpréter : $1/p$ est le nombre moyen d'essais avant le premier succès. Plus $p$ est petit, plus l'attente est longue.

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Exercice d'exemple

On lance un dé équilibré jusqu'à obtenir le premier 1. Soit $T$ le rang de ce premier succès. Donner la loi de $T$ , $E(T)$ , $\mathrm{Var}(T)$ .

Étape 1 —

Vérifier les conditions : suite d'épreuves de Bernoulli

(p)

indépendantes,

X

= rang (numéro) de la première réussite,

X \in \mathbb{N}^*

Suite de lancers indépendants, succès = obtenir 1 avec $p=1/6$ , $T$ = rang du premier 1. ✓

Étape 2 —

Conclure

X \sim \mathcal{G}(p)

. Écrire la loi :

P(X=k) = p(1-p)^{k-1}

pour

k \geq 1

, et vérifier

\sum_{k=1}^{\infty} p(1-p)^{k-1} = 1

$T \sim \mathcal{G}(1/6)$ . $P(T=k) = (1/6)(5/6)^{k-1}$ pour $k \geq 1$ .

Étape 3 —

Appliquer les formules :

E(X) = 1/p

\mathrm{Var}(X) = (1-p)/p^2

G_X(s) = ps/(1-(1-p)s)

$E(T) = 1/(1/6) = 6$ , $\mathrm{Var}(T) = (5/6)/(1/6)^2 = 30$ .

Étape 4 —

Interpréter :

1/p

est le nombre moyen d'essais avant le premier succès. Plus

p

est petit, plus l'attente est longue.

Il faut en moyenne 6 lancers pour obtenir le premier 1. C'est une bonne illustration de l'interprétation de $E(T)=1/p$ .

$T \sim \mathcal{G}(1/6)$ , $E(T) = 6$ , $\mathrm{Var}(T) = 30$ .

Application guidée

Calculer la probabilité $P(T > k)$ pour $T \sim \mathcal{G}(p)$ , et interpréter la propriété sans mémoire.

Application autonome 1

Retrouver $G_T(s) = ps/(1-(1-p)s)$ pour $T \sim \mathcal{G}(p)$ et en déduire $E(T)$ .

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En identifiant la v.a. comme rang du premier succès dans des épreuves de Bernoulli indépendantes, puis en appliquant E(X)=1/pE(X)=1/pE(X)=1/p

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En identifiant la v.a. comme rang du premier succès dans des épreuves de Bernoulli indépendantes, puis en appliquant $E(X)=1/p$