En vérifiant que la v.a. prend deux valeurs 0 et 1 avec probabilités $1-p$ et $p$ , puis en appliquant $E(X)=p$ , $\mathrm{Var}(X)=p(1-p)$

Identifier si une v.a. suit une loi de Bernoulli et utiliser directement ses propriétés sans recalculer depuis la définition.

L'objectif

Identifier si une v.a. suit une loi de Bernoulli et utiliser directement ses propriétés sans recalculer depuis la définition.

Le principe

$X \sim \mathcal{B}(p)$ si et seulement si $X \in \{0,1\}$ avec $P(X=1)=p$ et $P(X=0)=1-p$ . On a alors : $E(X)=p$ , $\mathrm{Var}(X)=p(1-p)$ , $G_X(s)=1-p+ps$ . La loi de Bernoulli modélise tout essai à deux issues (succès/échec).

La méthode

1
Vérifier que $X$ prend exactement deux valeurs $\{0, 1\}$ (ou qu'on peut recoder en $\{0,1\}$ ). Identifier la probabilité de succès $p = P(X=1) \in ]0,1[$ .
2
Conclure : $X \sim \mathcal{B}(p)$ . Vérifier $P(X=0) = 1-p$ et $P(X=0)+P(X=1)=1$ .
3
Appliquer les formules : $E(X) = p$ , $\mathrm{Var}(X) = p(1-p)$ , $G_X(s) = 1-p+ps$ .
4
Si nécessaire, utiliser la Bernoulli comme brique pour construire une loi binomiale (somme de Bernoulli i.i.d.) ou pour appliquer la linéarité de l'espérance.

Évalue la méthode

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Application guidée 1

On lance une pièce équilibrée. Soit $X = 1$ si Pile, $X = 0$ si Face. Reconnaître la loi de $X$ et calculer $E(X)$ , $\mathrm{Var}(X)$ .

Application guidée 2

Une usine produit des pièces défectueuses avec probabilité $p=0{,}05$ . Soit $X = 1$ si la pièce est défectueuse, $0$ sinon. Donner $E(X)$ , $\mathrm{Var}(X)$ et interpréter.

Application autonome 1

Soit $A$ un événement de probabilité $p$ . Montrer que $\mathbf{1}_A \sim \mathcal{B}(p)$ et en déduire $\mathrm{Var}(\mathbf{1}_A)$ .

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En vérifiant que la v.a. prend deux valeurs 0 et 1 avec probabilités 1−p1-p1−p et ppp, puis en appliquant E(X)=pE(X)=pE(X)=p, Var(X)=p(1−p)\mathrm{Var}(X)=p(1-p)Var(X)=p(1−p)

Évalue la méthode

En vérifiant que la v.a. prend deux valeurs 0 et 1 avec probabilités $1-p$ et $p$ , puis en appliquant $E(X)=p$ , $\mathrm{Var}(X)=p(1-p)$