En calculant $E(X^2)$ puis en appliquant la formule de Huygens $\mathrm{Var}(X) = E(X^2) - E(X)^2$

Calculer la variance et l'écart-type d'une v.a. discrète $X \in L^2$ en utilisant la formule de Huygens, plus simple que la définition directe $E((X-E(X))^2)$ .

L'objectif

Calculer la variance et l'écart-type d'une v.a. discrète $X \in L^2$ en utilisant la formule de Huygens, plus simple que la définition directe $E((X-E(X))^2)$ .

Le principe

Pour $X \in L^2$ , on a $\mathrm{Var}(X) = E(X^2) - E(X)^2$ . Il suffit donc de calculer les deux premiers moments de $X$ : $E(X) = \sum_i x_i p_i^X$ et $E(X^2) = \sum_i x_i^2 p_i^X$ . L'écart-type est $\sigma_X = \sqrt{\mathrm{Var}(X)}$ .

La méthode

1
Calculer $E(X) = \sum_{x_i \in \mathcal{X}} x_i P(X=x_i)$ (vérifier au passage que $X \in L^1$ ).
2
Calculer $E(X^2) = \sum_{x_i \in \mathcal{X}} x_i^2 P(X=x_i)$ (moment d'ordre 2) et vérifier que $X \in L^2$ , i.e. $E(X^2) < +\infty$ .
3
Appliquer la formule de Huygens : $\mathrm{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 \geq 0$ .
4
En déduire l'écart-type $\sigma_X = \sqrt{\mathrm{Var}(X)}$ . Interpréter : $\sigma_X$ mesure la dispersion moyenne des valeurs de $X$ autour de $E(X)$ .

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Exercice d'exemple

Soit $X \sim \mathcal{B}(p)$ une v.a. de Bernoulli. Calculer $\mathrm{Var}(X)$ et $\sigma_X$ .

Étape 1 —

Calculer

E(X) = \sum_{x_i \in \mathcal{X}} x_i P(X=x_i)

(vérifier au passage que

X \in L^1

$E(X) = p$ (déjà calculé).

Étape 2 —

Calculer

E(X^2) = \sum_{x_i \in \mathcal{X}} x_i^2 P(X=x_i)

(moment d'ordre 2) et vérifier que

X \in L^2

, i.e.

E(X^2) < +\infty

$E(X^2) = 1^2 \cdot p + 0^2 \cdot (1-p) = p$ (car $X^2 = X$ pour une Bernoulli).

Étape 3 —

Appliquer la formule de Huygens :

\mathrm{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 \geq 0

$\mathrm{Var}(X) = E(X^2) - E(X)^2 = p - p^2 = p(1-p)$ .

Étape 4 —

En déduire l'écart-type

\sigma_X = \sqrt{\mathrm{Var}(X)}

. Interpréter :

\sigma_X

mesure la dispersion moyenne des valeurs de

X

autour de

E(X)

$\sigma_X = \sqrt{p(1-p)}$ . Maximale pour $p=1/2$ (cas le plus incertain).

$\mathrm{Var}(X) = p(1-p)$ , $\sigma_X = \sqrt{p(1-p)}$ .

Application guidée

Calcul de la variance pour le Loto. Le gain $G$ vaut $789\,177$ € avec prob. $7{,}2 \times 10^{-8}$ , $1\,813{,}8$ € avec prob. $1{,}8 \times 10^{-5}$ , $30{,}7$ € avec prob. $9{,}7 \times 10^{-4}$ , $2{,}7$ € avec prob. $1{,}8 \times 10^{-2}$ , et $0$ sinon. Estimer $\mathrm{Var}(G)$ (ordre de grandeur).

Application autonome 1

Soit $X \sim \mathcal{B}(n,p)$ binomiale. Retrouver $\mathrm{Var}(X) = np(1-p)$ par la formule de Huygens.

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En calculant E(X2)E(X^2)E(X2) puis en appliquant la formule de Huygens Var(X)=E(X2)−E(X)2\mathrm{Var}(X) = E(X^2) - E(X)^2Var(X)=E(X2)−E(X)2

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En calculant $E(X^2)$ puis en appliquant la formule de Huygens $\mathrm{Var}(X) = E(X^2) - E(X)^2$