En listant les valeurs et en calculant chaque probabilité $P(X = x_i)$

Déterminer complètement la loi d'une variable aléatoire discrète, c'est-à-dire la collection $\{(x_i, p_i^X),\, x_i \in \mathcal{X}\}$ telle que $\sum_i p_i^X = 1$.

L'objectif

Déterminer complètement la loi d'une variable aléatoire discrète, c'est-à-dire la collection $\{(x_i, p_i^X),\, x_i \in \mathcal{X}\}$ telle que $\sum_i p_i^X = 1$ .

Le principe

Sur un espace $\Omega$ fini ou dénombrable, la loi de $X$ est entièrement caractérisée par les poids $p_i^X = P(X = x_i)$ . On les obtient en regroupant les $\omega$ tels que $X(\omega) = x_i$ et en sommant leurs probabilités $p_\omega$ .

La méthode

1
Décrire l'espace $\Omega$ et la probabilité $P$ (uniforme, produit, etc.). Identifier la v.a. $X : \Omega \to \mathcal{X}$ et déterminer l'ensemble $\mathcal{X} = \{x_i, i \in I\}$ de ses valeurs possibles.
2
Pour chaque valeur $x_i \in \mathcal{X}$ , former l'événement $\{X = x_i\} = \{\omega \in \Omega : X(\omega) = x_i\}$ et calculer $p_i^X = P(X = x_i) = \sum_{\omega : X(\omega)=x_i} p_\omega$ .
3
Vérifier que $\sum_{i \in I} p_i^X = 1$ (condition de normalisation). Si l'espace est fini, c'est un calcul direct ; si $I$ est infini, utiliser les propriétés des séries convergentes.
4
Conclure en énonçant la loi : « $X$ a pour loi $\{(x_i, p_i^X)\}$ » ou, si elle est reconnue, utiliser la notation standard ( $\mathcal{B}(n,p)$ , $\mathcal{P}(\theta)$ , etc.).

Évalue la méthode

0/3 validés

Cherche chaque exercice au brouillon, puis coche “j'ai réussi” si tu as trouvé la bonne démarche. Utilise le bouton aide si tu as besoin d'un coup de pouce.

Application guidée 1

On lance un dé équilibré à 6 faces. Soit $X$ le résultat du lancer, $X : \Omega \to \{1,\ldots,6\}$ avec $\Omega = \{1,\ldots,6\}$ et $P$ uniforme. Déterminer la loi de $X$ .

Application guidée 2

On lance deux dés équilibrés. Soit $S = X_1 + X_2$ la somme. Déterminer $P(S = k)$ pour $k \in \{2,\ldots,12\}$ .

Application autonome 1

On choisit un nombre $X$ au hasard dans $\{1,\ldots,n\}$ (loi uniforme). Déterminer la loi de $X$ .

Connecte-toi pour cocher tes exercices réussis et sauvegarder ta progression.

En listant les valeurs et en calculant chaque probabilité P(X=xi)P(X = x_i)P(X=xi​)

Évalue la méthode

En listant les valeurs et en calculant chaque probabilité $P(X = x_i)$