En appliquant la définition $P(A|B) = P(A\cap B)/P(B)$ avec $P(B) > 0$

Calculer la probabilité conditionnelle $P(A|B)$ à partir de la définition, en identifiant et calculant $P(A\cap B)$ et $P(B)$ .

L'objectif

Calculer la probabilité conditionnelle $P(A|B)$ à partir de la définition, en identifiant et calculant $P(A\cap B)$ et $P(B)$ .

Le principe

La probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ est définie par $P(A|B) = P(A\cap B)/P(B)$ dès que $P(B)>0$ . Elle représente la vraisemblance mise à jour de $A$ après avoir appris que $B$ est réalisé. L'application $A \mapsto P(A|B)$ est elle-même une probabilité sur $(\Omega, \mathcal{A})$ .

La méthode

1
Identifier les deux événements $A$ et $B$ et vérifier que $P(B) > 0$ (condition nécessaire pour que $P(A|B)$ soit défini).
2
Calculer $P(B)$ : probabilité que l'information soit vérifiée.
3
Calculer $P(A\cap B)$ : probabilité que $A$ et $B$ soient simultanément réalisés.
4
Appliquer : $P(A|B) = P(A\cap B)/P(B)$ .

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Exercice d'exemple

On tire une carte au hasard dans un jeu de 52. On sait que la carte est un cœur. Quelle est la probabilité que ce soit un as ?

Étape 1 —

Identifier les deux événements

A

B

et vérifier que

P(B) > 0

(condition nécessaire pour que

P(A|B)

soit défini).

$A$ = « as », $B$ = « cœur ». $P(B) = 13/52 = 1/4 > 0$ ✓.

Étape 2 —

Calculer

P(B)

: probabilité que l'information soit vérifiée.

$P(B) = 13/52 = 1/4$ .

Étape 3 —

Calculer

P(A\cap B)

: probabilité que

A

B

soient simultanément réalisés.

$A \cap B$ = « as de cœur », $P(A\cap B) = 1/52$ .

Étape 4 —

Appliquer :

P(A|B) = P(A\cap B)/P(B)

$P(A|B) = (1/52)/(13/52) = 1/13$ .

$P(\text{as} | \text{cœur}) = 1/13$ .

Application guidée

On lance deux dés. On sait que la somme est supérieure ou égale à 10. Quelle est la probabilité que le premier dé affiche 6 ?

Application autonome 1

Une famille a deux enfants. La probabilité d'avoir une fille est $1/2$ . Sachant qu'au moins un des enfants est une fille, quelle est la probabilité que les deux soient des filles ?

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En appliquant la définition P(A∣B)=P(A∩B)/P(B)P(A|B) = P(A\cap B)/P(B)P(A∣B)=P(A∩B)/P(B) avec P(B)>0P(B) > 0P(B)>0

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En appliquant la définition $P(A|B) = P(A\cap B)/P(B)$ avec $P(B) > 0$