Comment calculer une probabilité avec la loi hypergéométrique ou la loi binomiale ? | MetMat

Comment calculer une probabilité avec la loi hypergéométrique ou la loi binomiale ?

En identifiant le mode de tirage (simultané → hypergéométrique, avec remise → binomiale) et en appliquant la formule

Calculer la probabilité d'obtenir un nombre donné de succès dans un tirage à partir d'une population finie.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dans une fabrication en série, parmi $N=100$ pièces, $M=10$ sont défectueuses. On prélève simultanément $n=5$ pièces. Quelle est la probabilité que l'échantillon contienne exactement $k=2$ pièces défectueuses ?

L'objectif

Calculer la probabilité d'obtenir un nombre donné de succès dans un tirage à partir d'une population finie.

Le principe

Pour $N$ objets dont $N_1$ de type 1, un tirage de $n$ objets donne : si tirage simultané (ou sans remise), la probabilité d'obtenir $k$ objets de type 1 suit la loi hypergéométrique $\hat{P}_{k,n-k} = \binom{N_1}{k}\binom{N-N_1}{n-k}/\binom{N}{n}$ ; si tirage avec remise avec proportion $p = N_1/N$ , elle suit la loi binomiale $P_{k,n-k} = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ .

La méthode

1
Identifier les paramètres : taille totale $N$ , nombre d'objets de type 1 $N_1$ , taille du tirage $n$ , et le mode de tirage (avec remise → binomiale, simultané/sans remise → hypergéométrique).
2
Calculer les paramètres de la loi : pour la binomiale, $p = N_1/N$ et $n$ ; pour l'hypergéométrique, $N$ , $N_1$ , $N_2 = N-N_1$ et $n$ .
3
Appliquer la formule : hypergéométrique $P(X=k) = \binom{N_1}{k}\binom{N-N_1}{n-k}/\binom{N}{n}$ ; binomiale $P(X=k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ .
4
Vérifier que la valeur $k$ est dans le domaine admissible ( $\max(0, n-(N-N_1)) \leq k \leq \min(n, N_1)$ pour l'hypergéométrique ; $0 \leq k \leq n$ pour la binomiale).

Pour comprendre, fais des exercices !

0/3 validés

Exercice d'exemple

Étape 1 —

Identifier les paramètres : taille totale

N

, nombre d'objets de type 1

N_1

, taille du tirage

n

, et le mode de tirage (avec remise → binomiale, simultané/sans remise → hypergéométrique).

Tirage simultané (sans remise) de $n=5$ parmi $N=100$ , avec $N_1 = M = 10$ défectueuses. Loi hypergéométrique.

Étape 2 —

Calculer les paramètres de la loi : pour la binomiale,

p = N_1/N

n

; pour l'hypergéométrique,

N

N_1

N_2 = N-N_1

n

$N_1 = 10$ , $N-N_1 = 90$ , $n=5$ , $k=2$ . Vérification : $\max(0, 5-90) = 0 \leq 2 \leq \min(5,10) = 5$ ✓.

Étape 3 —

Appliquer la formule : hypergéométrique

P(X=k) = \binom{N_1}{k}\binom{N-N_1}{n-k}/\binom{N}{n}

; binomiale

P(X=k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}

$P(X=2) = \dfrac{\binom{10}{2}\binom{90}{3}}{\binom{100}{5}} = \dfrac{45 \times 117\,480}{75\,287\,520} = \dfrac{5\,286\,600}{75\,287\,520} \approx 0{,}0702$ .

Étape 4 —

Vérifier que la valeur

k

est dans le domaine admissible (

\max(0, n-(N-N_1)) \leq k \leq \min(n, N_1)

pour l'hypergéométrique ;

0 \leq k \leq n

pour la binomiale).

$k=2 \in [0, 5]$ ✓. Résultat : environ 7% de chances d'avoir exactement 2 défectueuses.

$P(X=2) = \dfrac{\binom{10}{2}\binom{90}{3}}{\binom{100}{5}} \approx 0{,}0702$ .

Application guidée

Une pièce de monnaie a une probabilité $p=0{,}3$ de tomber sur Pile. On la lance $n=10$ fois avec remise. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 3 Piles ?

Application autonome 1

On lance deux dés équilibrés 24 fois de suite (tirage avec remise). Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un double-six ? (Problème du chevalier de Méré.)

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