Comment appliquer la propriété de continuité d'une probabilité (suites croissantes / décroissantes) ? | MetMat

Comment appliquer la propriété de continuité d'une probabilité (suites croissantes / décroissantes) ?

En vérifiant la monotonie de la suite d'événements puis en passant à la limite

Calculer $P(\lim_n A_n)$ lorsque $(A_n)$ est une suite monotone d'événements, en passant à la limite dans les probabilités.

L'objectif

Calculer $P(\lim_n A_n)$ lorsque $(A_n)$ est une suite monotone d'événements, en passant à la limite dans les probabilités.

Le principe

Toute probabilité est continue le long des suites monotones d'événements (Proposition 1.9) : si $A_n \uparrow A$ (croissante), alors $P(A) = \lim_{n\to\infty} P(A_n)$ ; si $A_n \downarrow A$ (décroissante), alors $P(A) = \lim_{n\to\infty} P(A_n)$ . Cette propriété est équivalente à la $\sigma$ -additivité.

La méthode

1
Vérifier que la suite $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est monotone : croissante si $A_n \subset A_{n+1}$ pour tout $n$ , décroissante si $A_{n+1} \subset A_n$ pour tout $n$ .
2
Identifier la limite : $A = \bigcup_n A_n$ si la suite est croissante, $A = \bigcap_n A_n$ si elle est décroissante.
3
Appliquer la propriété de continuité : $P(A) = \lim_{n\to\infty} P(A_n)$ .
4
Calculer $P(A_n)$ explicitement (souvent via une formule close), puis passer à la limite.

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Application guidée 1

Soit $A_n = [0, 1-1/n]$ pour $n \geq 1$ . Calculer $P(\bigcup_n A_n)$ sous la loi uniforme sur $[0,1]$ .

Application guidée 2

Soit $B_n = (0, 1/n]$ pour $n \geq 1$ . Calculer $P(\bigcap_n B_n)$ sous la loi uniforme sur $[0,1]$ .

Application autonome 1

Soit $C_n = \{k \in \mathbb{N} : k \leq n\}$ pour $n \geq 0$ , et $P$ la loi géométrique de paramètre $p \in (0,1)$ sur $\mathbb{N}^*$ . Calculer $P(\mathbb{N}^*)$ par continuité.

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